Considere a=2, b=8, c=4. Seja T o sólido limitado pelos planos x=c-b, y=c-a, z=b-a, e pelo plano
(a-b) x+(b-c) y+(c-a) z=1,
com densidade variável dada por
\rho(x, y, z)=\left|x^{a} y^{a+1} z^{2 b}\right| .
Calcule o centro de massa do sólido T. (não use o método dos monômios e nem use simplex)

Passo 1

Temos parâmetros a=2, b=8, c=4. O enunciado diz que o sólido T é aquele “limitado” pelos quatro planos
x=c-b,\quad y=c-a,\quad z=b-a,
e
(a-b)x+(b-c)y+(c-a)z=1,
com densidade variável
\rho(x,y,z)=\bigl|x^a y^{a+1} z^{2b}\bigr| \;=\;\bigl|x^2y^3z^{16}\bigr|.
Para ser um sólido fechado e de volume finito, as faces planas que o delimitam devem formar uma regi ão poligonal fechada (como um tetraedro). Vamos ver se quatro planos bastam para fechar uma região em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Examinamos as constantes numéricas dos três planos “paralelos aos eixos”:
x=c-b=4-8=-4,\quad y=c-a=4-2=2,\quad z=b-a=8-2=6.
Note que um só desses planos não envolve x=0, y=0 ou z=0 — eles são deslocados no espaço. Tomar apenas eles mais a face oblíqua não gera um poliedro fechado: sob qualquer escolha de “lado interno” para essas três faces, a região resultante fica sempre aberta (isto é, estende-se infinitamente em pelo menos uma direção).

Passo 3

Concluímos que com apenas esses quatro planos não se forma um sólido limitado de volume finito. Em particular, não há um “fechamento” em todas as direções x, y e z, pois falta pelo menos mais uma face para conter a região.

Resposta

Não é possível calcular o centro de massa porque o enunciado, tal como dado, não descreve um sólido de volume finito — a região definida pelos quatro planos indicados fica aberta (ilimitada) em pelo menos uma direção.

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