Utilize a propriedade da dualidade da transformada de Fourier para calcular a transformada de f(t)=\frac{1}{t}.
Dica: comece observando que \mathcal{F}\{\operatorname{sign}(t)\}=\frac{2}{i \omega}=F(\omega).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de f(t)=\frac{1}{t} usando a dualidade. Sabemos que \mathcal{F}\{\operatorname{sign}(t)\}(\omega)=\frac{2}{i\,\omega}.
Vamos usar a propriedade de dualidade da transformada de Fourier, que diz que se
f(t)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}F(\omega),
então
F(t)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}2\pi\,f(-\omega).

Passo 2

Aplique dualidade ao par conhecido
\operatorname{sign}(t)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\frac{2}{i\,\omega}.
Trocando t por \omega e \omega por t, obtemos
\frac{2}{i\,t}\xleftrightarrow{\mathcal{F}}2\pi\,\operatorname{sign}(-\omega).

Passo 3

Expressamos \frac{1}{t} em termos de \frac{2}{i\,t}:
\frac{1}{t} =\frac{i}{2}\,\frac{2}{i\,t}.
Como a transformada é linear,
\mathcal{F}\Bigl\{\tfrac{1}{t}\Bigr\} =\frac{i}{2}\,\mathcal{F}\Bigl\{\tfrac{2}{i\,t}\Bigr\} =\frac{i}{2}\,\bigl(2\pi\,\operatorname{sign}(-\omega)\bigr) =i\pi\,\operatorname{sign}(-\omega).

Passo 4

Usando \operatorname{sign}(-\omega)=-\operatorname{sign}(\omega), concluímos
\mathcal{F}\Bigl\{\tfrac{1}{t}\Bigr\}(\omega) =i\pi\,\bigl(-\operatorname{sign}(\omega)\bigr) =-\,i\pi\,\operatorname{sign}(\omega).

Resposta

\boxed{\mathcal{F}\Bigl\{\tfrac{1}{t}\Bigr\}(\omega) =-\,i\pi\,\operatorname{sign}(\omega).}

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