Encontre e represente a transformada de Fourier dos seguintes sinais no domínio do tempo:
f(t)=A \operatorname{sen}\left(w_{1} t\right)+B \cos \left(w_{2} t\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de
f(t)=A\sin\bigl(\omega_{1}t\bigr)+B\cos\bigl(\omega_{2}t\bigr)
no sentido clássico de engenharia, em que definimos
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-\,j\omega t}\,dt.
Para resolver, vamos usar: (1) linearidade da transformada, (2) a representação de seno e cosseno em termos de complexos e (3) a propriedade
\mathcal{F}\{e^{j\omega_{0}t}\}( \omega ) =2\pi\,\delta(\omega-\omega_{0}).

Passo 2

Decompondo as funções trigonométricas em exponenciais complexas, temos
\sin(\omega_{1}t) =\frac{e^{\,j\omega_{1}t}-e^{-\,j\omega_{1}t}}{2j}, \qquad \cos(\omega_{2}t) =\frac{e^{\,j\omega_{2}t}+e^{-\,j\omega_{2}t}}{2}.
Como a transformada é linear, basta transformar cada expoente separadamente e depois juntar.

Passo 3

Transformada de e^{\,j\omega_{0}t}:
\mathcal{F}\{e^{\,j\omega_{0}t}\}(\omega) =2\pi\,\delta(\omega-\omega_{0}),
e de e^{-\,j\omega_{0}t}:
\mathcal{F}\{e^{-\,j\omega_{0}t}\}(\omega) =2\pi\,\delta(\omega+\omega_{0}).

Passo 4

Aplicando isso a \sin(\omega_{1}t):
\mathcal{F}\{\sin(\omega_{1}t)\} =\frac{1}{2j}\bigl[2\pi\,\delta(\omega-\omega_{1}) -2\pi\,\delta(\omega+\omega_{1})\bigr] =\frac{\pi}{j}\bigl[\delta(\omega-\omega_{1})-\delta(\omega+\omega_{1})\bigr].
Multiplicando por A, obtemos a contribuição de A\sin(\omega_{1}t).

Passo 5

Para \cos(\omega_{2}t):
\mathcal{F}\{\cos(\omega_{2}t)\} =\frac{1}{2}\bigl[2\pi\,\delta(\omega-\omega_{2}) +2\pi\,\delta(\omega+\omega_{2})\bigr] =\pi\bigl[\delta(\omega-\omega_{2})+\delta(\omega+\omega_{2})\bigr].
Multiplicando por B, obtemos a contribuição de B\cos(\omega_{2}t).

Resposta

F(\omega) =A\,\frac{\pi}{j}\bigl[\delta(\omega-\omega_{1})-\delta(\omega+\omega_{1})\bigr] + B\,\pi\bigl[\delta(\omega-\omega_{2})+\delta(\omega+\omega_{2})\bigr].

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