Em determinado sistema elétrico, a potência dissipada é modelada por \mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{y}^{2} sob a restrição operacional \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=16. Utilizando multiplicadores de Lagrange:
a) Determine os pontos críticos sobre a restrição;
b) Encontre os valores máximos e mínimos da potência;
c) Interprete o significado físico dos resultados obtidos.

Passo 1

O enunciado dá a função potência e uma restrição e pede três coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que é pedido.
  • Dados:
    • A potência é \mathrm{P}(\mathrm{x},\mathrm{y})=\mathrm{x}^{2}+2\mathrm{y}^{2}.
    • A restrição operacional é \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=16.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Determinar os pontos críticos de \mathrm{P} sujeitos à restrição \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=16.
    • (b) Encontrar os valores máximo e mínimo da potência (e onde ocorrem).
    • (c) Interpretar fisicamente os resultados obtidos.

Passo 2

Vou explicar o método dos multiplicadores de Lagrange (passo-a-passo, sem pressa).
Ideia principal: para achar extremos de uma função f(x,y) sujeita a uma restrição g(x,y)=0, em pontos internos da restrição os gradientes de f e g são paralelos. Isso se escreve como
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y),
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange (um número real que aparece ao impor a restrição). Em palavras: no ponto de extremo restrito, a curva de nível de f é tangente ao conjunto restrito g(x,y)=0.
Para aplicar:
  • Defino f(x,y)=\mathrm{P}(x,y)=x^{2}+2y^{2}.
  • Defino g(x,y)=x^{2}+y^{2}-16 (assim a restrição é g(x,y)=0).
  • Escrevo o sistema
\nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y),\qquad g(x,y)=0.
Vou calcular explícito as derivadas parciais e resolver o sistema.

Passo 3

Calcular gradientes e montar as equações.
  • Derivadas de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=4y.
  • Derivadas de g:
\frac{\partial g}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=2y.
Aplicando \nabla f=\lambda\nabla g obtemos o sistema (duas equações) mais a restrição:
2x=\lambda\cdot 2x,
4y=\lambda\cdot 2y,
x^{2}+y^{2}=16.

Passo 4

Resolver o sistema. Vou simplificar as duas primeiras equações.
A primeira equação dá
2x(1-\lambda)=0.
Portanto ou x=0 ou \lambda=1.
A segunda equação dá
2y(2-\lambda)=0.
Portanto ou y=0 ou \lambda=2.
Agora combino os casos possíveis (não esqueça da restrição x^{2}+y^{2}=16).
  • Caso A: x=0. Pela restrição y^{2}=16 então y=\pm 4. Verifico a segunda equação: como y\neq 0 aqui, devo ter 2-\lambda=0, ou seja \lambda=2. Logo dois pontos críticos surgem: (0,4) e (0,-4).
  • Caso B: y=0. Pela restrição x^{2}=16 então x=\pm 4. Verifico a primeira equação: como x\neq 0 aqui, devo ter 1-\lambda=0, ou seja \lambda=1. Logo dois pontos críticos surgem: (4,0) e (-4,0).
Não existe solução com x=0 e y=0 porque isso violaria a restrição. Também não há outros casos (as combinações \lambda=1 com \lambda=2 simultâneas não ocorrem porque isso exigiria x=y=0).
Portanto os pontos críticos sobre a restrição são exatamente
(4,0),\quad (-4,0),\quad (0,4),\quad (0,-4).

Passo 5

Calcular os valores de \mathrm{P} nesses pontos.
  • Em (4,0):
\mathrm{P}(4,0)=4^{2}+2\cdot 0^{2}=16.
  • Em (-4,0):
\mathrm{P}(-4,0)=(-4)^{2}+2\cdot 0^{2}=16.
  • Em (0,4):
\mathrm{P}(0,4)=0^{2}+2\cdot 4^{2}=2\cdot 16=32.
  • Em (0,-4):
\mathrm{P}(0,-4)=0^{2}+2\cdot(-4)^{2}=32.
Logo, os valores obtidos são 16 nos pontos (\pm4,0) e 32 nos pontos (0,\pm4).

Passo 6

Classificar máximo e mínimo e comentar sobre existência.
  • Como a restrição x^{2}+y^{2}=16 define um conjunto compacto (um círculo de raio 4, conjunto fechado e limitado) e \mathrm{P} é contínua, \mathrm{P} atinge valor mínimo e máximo nesse conjunto. Comparando os valores calculados, o menor valor encontrado é 16 e o maior é 32.
  • Conclusão:
    • Mínimo da potência: \mathrm{P}_{\min}=16 em (4,0) e (-4,0).
    • Máximo da potência: \mathrm{P}_{\max}=32 em (0,4) e (0,-4).
Como checagem alternativa (intuição rápida): usando y^{2}=16-x^{2} na restrição, substitui-se em \mathrm{P} para obter
\mathrm{P}(x)=x^{2}+2(16-x^{2})=32-x^{2},
o que decresce com x^{2}. Portanto \mathrm{P} é máximo quando x^{2} é mínimo (isto é x=0) e mínimo quando x^{2} é máximo (isto é |x|=4), concordando com os resultados acima.

Passo 7

Interpretação física (de forma simples e direta, motivadora).
  • A restrição \;x^{2}+y^{2}=16\; pode ser vista como um limite operacional: a combinação das variáveis x e y deve manter uma “magnitude” fixa (por exemplo, x e y podem ser componentes de uma corrente ou tensão cujo módulo é limitado a 4). Geometricamente é o círculo de raio 4.
  • A potência dissipada é \mathrm{P}=x^{2}+2y^{2}. Note que o termo em y^{2} tem coeficiente 2, maior que o coeficiente de x^{2} (que é 1). Isso significa que, para a mesma contribuição quadrática, a componente y dissipa mais potência que a componente x.
  • Consequência física: sob a mesma “magnitude” total (mesma x^{2}+y^{2}), colocar mais amplitude na componente y aumenta a dissipação. Assim o máximo de potência ocorre quando toda a magnitude está em y (isto é (0,\pm4)), dando \mathrm{P}=32. O mínimo de potência ocorre quando toda a magnitude está em x (isto é (\pm4,0)), dando \mathrm{P}=16.
  • Interpretação prática: se x e y são configurações controláveis, para reduzir perdas/dissipação convém ajustar o sistema para favorecer a componente x (aquela com menor coeficiente na potência); para evitar sobrecarga, deve-se impedir que a componente y assuma todo o esforço.

Resposta

(a) Pontos críticos: (4,0),\;(-4,0),\;(0,4),\;(0,-4).
(b) Valores: mínimo \mathrm{P}_{\min}=16 em (4,0) e (-4,0); máximo \mathrm{P}_{\max}=32 em (0,4) e (0,-4).
(c) Interpretação física: a restrição é um limite de magnitude ( x^{2}+y^{2}=16). Como o termo em y^{2} pesa mais, alocar a magnitude em y maximiza a dissipação (pior para perdas) e alocar em x minimiza a dissipação (melhor para eficiência).

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