Em determinado sistema elétrico, a potência dissipada é modelada por
sob a restrição operacional
. Utilizando multiplicadores de Lagrange:
a) Determine os pontos críticos sobre a restrição;
b) Encontre os valores máximos e mínimos da potência;
c) Interprete o significado físico dos resultados obtidos.
a) Determine os pontos críticos sobre a restrição;
b) Encontre os valores máximos e mínimos da potência;
c) Interprete o significado físico dos resultados obtidos.
Passo 1
O enunciado dá a função potência e uma restrição e pede três coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que é pedido.
-
Dados:
- A potência é
. - A restrição operacional é
.
- A potência é
-
O que o enunciado pede:
- (a) Determinar os pontos críticos de
sujeitos à restrição . - (b) Encontrar os valores máximo e mínimo da potência (e onde ocorrem).
- (c) Interpretar fisicamente os resultados obtidos.
- (a) Determinar os pontos críticos de
Passo 2
Vou explicar o método dos multiplicadores de Lagrange (passo-a-passo, sem pressa).
Ideia principal: para achar extremos de uma função
sujeita a uma restrição
, em pontos internos da restrição os gradientes de
e
são paralelos. Isso se escreve como
onde
é o multiplicador de Lagrange (um número real que aparece ao impor a restrição). Em palavras: no ponto de extremo restrito, a curva de nível de
é tangente ao conjunto restrito
.
Para aplicar:
- Defino
. - Defino
(assim a restrição é ). - Escrevo o sistema
Vou calcular explícito as derivadas parciais e resolver o sistema.
Passo 3
Calcular gradientes e montar as equações.
- Derivadas de
:
- Derivadas de
:
Aplicando
obtemos o sistema (duas equações) mais a restrição:
Passo 4
Resolver o sistema. Vou simplificar as duas primeiras equações.
A primeira equação dá
Portanto ou
ou
.
A segunda equação dá
Portanto ou
ou
.
Agora combino os casos possíveis (não esqueça da restrição
).
-
Caso A:
. Pela restrição então . Verifico a segunda equação: como aqui, devo ter , ou seja . Logo dois pontos críticos surgem: e . -
Caso B:
. Pela restrição então . Verifico a primeira equação: como aqui, devo ter , ou seja . Logo dois pontos críticos surgem: e .
Não existe solução com
e
porque isso violaria a restrição. Também não há outros casos (as combinações
com
simultâneas não ocorrem porque isso exigiria
).
Portanto os pontos críticos sobre a restrição são exatamente
Passo 5
Calcular os valores de
nesses pontos.
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Logo, os valores obtidos são
nos pontos
e
nos pontos
.
Passo 6
Classificar máximo e mínimo e comentar sobre existência.
-
Como a restrição
define um conjunto compacto (um círculo de raio , conjunto fechado e limitado) e é contínua, atinge valor mínimo e máximo nesse conjunto. Comparando os valores calculados, o menor valor encontrado é e o maior é . -
Conclusão:
- Mínimo da potência:
em e . - Máximo da potência:
em e .
- Mínimo da potência:
Como checagem alternativa (intuição rápida): usando
na restrição, substitui-se em
para obter
o que decresce com
. Portanto
é máximo quando
é mínimo (isto é
) e mínimo quando
é máximo (isto é
), concordando com os resultados acima.
Passo 7
Interpretação física (de forma simples e direta, motivadora).
-
A restrição
pode ser vista como um limite operacional: a combinação das variáveis e deve manter uma “magnitude” fixa (por exemplo, e podem ser componentes de uma corrente ou tensão cujo módulo é limitado a ). Geometricamente é o círculo de raio . -
A potência dissipada é
. Note que o termo em tem coeficiente , maior que o coeficiente de (que é ). Isso significa que, para a mesma contribuição quadrática, a componente dissipa mais potência que a componente . -
Consequência física: sob a mesma “magnitude” total (mesma
), colocar mais amplitude na componente aumenta a dissipação. Assim o máximo de potência ocorre quando toda a magnitude está em (isto é ), dando . O mínimo de potência ocorre quando toda a magnitude está em (isto é ), dando . -
Interpretação prática: se
e são configurações controláveis, para reduzir perdas/dissipação convém ajustar o sistema para favorecer a componente (aquela com menor coeficiente na potência); para evitar sobrecarga, deve-se impedir que a componente assuma todo o esforço.
Resposta
(a) Pontos críticos:
.
(b) Valores: mínimo
em
e
; máximo
em
e
.
(c) Interpretação física: a restrição é um limite de magnitude (
). Como o termo em
pesa mais, alocar a magnitude em
maximiza a dissipação (pior para perdas) e alocar em
minimiza a dissipação (melhor para eficiência).