(2,0) Usando transformada de Laplace, encontre a solução do PVI abaixo:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=e^{2 x} \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=3 \end{array}\right.
Observação:
\mathcal{L}\left\{e^{a t}\right\}=\frac{1}{s-a}

Passo 1

O problema nos dá a seguinte equação diferencial com condições iniciais (peguei tudo do enunciado):
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime\prime}-3y^{\prime}-4y=e^{2x},\\[4pt] y(0)=1,\\[4pt] y^{\prime}(0)=3. \end{array}\right.
O que o enunciado pede é: encontrar a solução y(x) do problema de valor inicial acima usando a transformada de Laplace. A observação fornecida também diz que
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}.]

Passo 2

Vou aplicar a transformada de Laplace termo a termo. Primeiro lembro as fórmulas para as transformadas das derivadas (essas fórmulas vêm de integrar por partes; aqui só uso o resultado):
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s), \qquad \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
No nosso problema a variável independente é x, mas as fórmulas valem do mesmo jeito. Aplico \mathcal{L}\{\cdot\} na equação:
\mathcal{L}\{y''\}-3\mathcal{L}\{y'\}-4\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{e^{2x}\}.
Substituindo as fórmulas das derivadas e as condições iniciais y(0)=1, y'(0)=3, obtemos:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\cdot 1 - 3\bigr)-3\bigl(sY(s)-1\bigr)-4Y(s)=\frac{1}{s-2}.
Agora simplifico os termos constantes e os que multiplicam Y(s). Primeiro os constantes: -s-3 +3 = -s. Os coeficientes de Y(s) dão s^{2}-3s-4. Assim:
\bigl(s^{2}-3s-4\bigr)Y(s) - s = \frac{1}{s-2}.
Isolando Y(s):
\bigl(s^{2}-3s-4\bigr)Y(s)=\frac{1}{s-2}+s,
portanto
Y(s)=\frac{s}{s^{2}-3s-4}+\frac{1}{(s-2)\bigl(s^{2}-3s-4\bigr)}.
Faço fatoração do denominador quadrático:
s^{2}-3s-4=(s-4)(s+1).
Logo posso escrever
Y(s)=\frac{s}{(s-4)(s+1)}+\frac{1}{(s-2)(s-4)(s+1)}.

Passo 3

Vou decompor em frações parciais a primeira parcela
\frac{s}{(s-4)(s+1)}=\frac{A}{s-4}+\frac{B}{s+1}.
Multiplicando por (s-4)(s+1) obtemos
s=A(s+1)+B(s-4).
Comparando coeficientes: para s temos A+B=1; para o termo constante temos A-4B=0. Da segunda equação A=4B. Substituindo na primeira:
4B+B=1 \implies 5B=1 \implies B=\frac{1}{5},\quad A=\frac{4}{5}.
Portanto
\frac{s}{(s-4)(s+1)}=\frac{4/5}{s-4}+\frac{1/5}{s+1}.

Passo 4

Agora decomponho a segunda parcela
\frac{1}{(s-2)(s-4)(s+1)}=\frac{C}{s-2}+\frac{D}{s-4}+\frac{E}{s+1}.
Multiplicando por (s-2)(s-4)(s+1) obtemos
1=C(s-4)(s+1)+D(s-2)(s+1)+E(s-2)(s-4).
Uso o método da substituição direta (cover-up) avaliando nos polos:
  • Para s=2:
1=C(2-4)(2+1)=C(-2)(3)=-6C \implies C=-\frac{1}{6}.
  • Para s=4:
1=D(4-2)(4+1)=D(2)(5)=10D \implies D=\frac{1}{10}.
  • Para s=-1:
1=E(-1-2)(-1-4)=E(-3)(-5)=15E \implies E=\frac{1}{15}.
Logo
\frac{1}{(s-2)(s-4)(s+1)}=-\frac{1/6}{s-2}+\frac{1/10}{s-4}+\frac{1/15}{s+1}.

Passo 5

Agora já tenho todas as partes de Y(s) em frações simples. Reunindo:
  • A primeira parcela deu
\frac{s}{(s-4)(s+1)}=\frac{4/5}{s-4}+\frac{1/5}{s+1}.
  • A segunda parcela deu
\frac{1}{(s-2)(s-4)(s+1)}=-\frac{1/6}{s-2}+\frac{1/10}{s-4}+\frac{1/15}{s+1}.
Somando termo a termo (sem ainda juntar os coeficientes semelhantes), a decomposição completa é
Y(s)=\frac{4/5}{s-4}+\frac{1/5}{s+1}-\frac{1/6}{s-2}+\frac{1/10}{s-4}+\frac{1/15}{s+1}.
Agora aplico a transformada inversa termo a termo usando \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-a)\}=e^{ax}. Assim cada fração corresponde a um exponencial:
  • \displaystyle \frac{4/5}{s-4} corresponde a \displaystyle \frac{4}{5}e^{4x}.
  • \displaystyle \frac{1/5}{s+1} corresponde a \displaystyle \frac{1}{5}e^{-x}.
  • \displaystyle -\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{s-2} corresponde a \displaystyle -\frac{1}{6}e^{2x}.
  • \displaystyle \frac{1}{10}\cdot\frac{1}{s-4} corresponde a \displaystyle \frac{1}{10}e^{4x}.
  • \displaystyle \frac{1}{15}\cdot\frac{1}{s+1} corresponde a \displaystyle \frac{1}{15}e^{-x}.
Somando essas contribuições obtemos os termos em y(x) (aqui listo as contribuições separadas, a soma final simples será dada na seção de resposta):
y(x)=\Bigl(\tfrac{4}{5}e^{4x}+\tfrac{1}{5}e^{-x}\Bigr)+\Bigl(-\tfrac{1}{6}e^{2x}+\tfrac{1}{10}e^{4x}+\tfrac{1}{15}e^{-x}\Bigr).

Resposta

y(x)=\frac{9}{10}e^{4x}-\frac{1}{6}e^{2x}+\frac{4}{15}e^{-x}.

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