Usando transformada de Laplace, encontre a solução do PVI abaixo:
Observação:
Passo 1
O problema nos dá a seguinte equação diferencial com condições iniciais (peguei tudo do enunciado):
O que o enunciado pede é: encontrar a solução
do problema de valor inicial acima usando a transformada de Laplace. A observação fornecida também diz que
Passo 2
Vou aplicar a transformada de Laplace termo a termo. Primeiro lembro as fórmulas para as transformadas das derivadas (essas fórmulas vêm de integrar por partes; aqui só uso o resultado):
No nosso problema a variável independente é
, mas as fórmulas valem do mesmo jeito. Aplico
na equação:
Substituindo as fórmulas das derivadas e as condições iniciais
,
, obtemos:
Agora simplifico os termos constantes e os que multiplicam
. Primeiro os constantes:
. Os coeficientes de
dão
. Assim:
Isolando
:
portanto
Faço fatoração do denominador quadrático:
Logo posso escrever
Passo 3
Vou decompor em frações parciais a primeira parcela
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes: para
temos
; para o termo constante temos
. Da segunda equação
. Substituindo na primeira:
Portanto
Passo 4
Agora decomponho a segunda parcela
Multiplicando por
obtemos
Uso o método da substituição direta (cover-up) avaliando nos polos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Logo
Passo 5
Agora já tenho todas as partes de
em frações simples. Reunindo:
- A primeira parcela deu
- A segunda parcela deu
Somando termo a termo (sem ainda juntar os coeficientes semelhantes), a decomposição completa é
Agora aplico a transformada inversa termo a termo usando
. Assim cada fração corresponde a um exponencial:
-
corresponde a . -
corresponde a . -
corresponde a . -
corresponde a . -
corresponde a .
Somando essas contribuições obtemos os termos em
(aqui listo as contribuições separadas, a soma final simples será dada na seção de resposta):