Deseja-se projetar um reservatório cilíndrico fechado com volume fixo igual a
. Sabendo que a área total do cilindro é dada por
, utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para:
a) Determinar as dimensões do cilindro que minimizam a área total;
b) Verificar que o ponto encontrado corresponde a um mínimo;
a) Determinar as dimensões do cilindro que minimizam a área total;
b) Verificar que o ponto encontrado corresponde a um mínimo;
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo o que segue foi extraído do enunciado e constitui os dados do problema):
- Volume fixo do cilindro:
. - Área total do cilindro (a ser minimizada):
.
As perguntas são:
a) Determinar as dimensõesdo cilindro que minimizam sujeitas à restrição do volume dado.
b) Verificar que o ponto encontrado corresponde a um mínimo da área.
Passo 2
Plano de solução (explicação didática do método que será usado).
- Quando queremos minimizar uma função de duas variáveis
sujeita a uma restrição , uma técnica poderosa é introduzir um multiplicador de Lagrange e formar a função Lagrangiana . - Os pontos candidatos satisfazem as equações do sistema formado pelas derivadas parciais da Lagrangiana iguais a zero:
- Aqui a restrição é
. Também é importante lembrar que fisicamente e .
Vou aplicar esse procedimento passo a passo, mostrando cada conta.
Passo 3
Formar a Lagrangiana e calcular as derivadas parciais.
- Definir a restrição
- Formar a Lagrangiana
- Calcular as derivadas parciais. Primeiro, derivadas de
: E as derivadas de : - Agora as equações
:
Passo 4
Simplificar as equações e resolver o sistema.
- Na segunda equação, dividir por
(válido porque ): - Substituir
na primeira equação. Primeiro dividir a primeira equação por para simplificar: Substituindo : Portanto - Usar a restrição de volume
com : Logo a solução exata para e é
Passo 5
Interpretação geométrica rápida (motivadora).
- Notar que a relação obtida
significa que a altura vale o diâmetro do cilindro (diâmetro ). Essa é uma propriedade clássica do cilindro de área mínima para volume fixo.
Passo 6
Cálculo aproximado numérico (útil para conferir).
- Calcular aproximadamente
. Tomando ,
Passo 7
Verificação de que o ponto é um mínimo (teste usando redução a uma variável e segunda derivada).
- É simples e pedagógico eliminar
pela restrição para obter uma função de uma variável. Da restrição: Substituindo em : - Calcular a derivada primeira (regra do poder e derivada da função recíproca):
Zerar dá que é exatamente o mesmo encontrado antes (boa checagem). - Calcular a derivada segunda:
Para ambas as parcelas são positivas, então . Pela condição usual do cálculo, se no ponto crítico, esse ponto é um mínimo local. - Além disso, verificar comportamento nas extremidades: quando
, ; quando , . Como a função tende a nas duas extremidades e tem um único ponto crítico com , esse ponto crítico é de facto o mínimo global da área sob a restrição de volume. - Conclusão da verificação: o ponto encontrado corresponde a um mínimo (global) da área.
Resposta
Sim — o ponto corresponde a um mínimo global da área.