Deseja-se projetar um reservatório cilíndrico fechado com volume fixo igual a \mathrm{V}=\pi \mathrm{r}^{2} \mathrm{~h}=100 \mathrm{~m}^{3}. Sabendo que a área total do cilindro é dada por \mathrm{A}(\mathrm{r}, \mathrm{h})=2 \pi \mathrm{r}^{2}+2 \pi \mathrm{rh}, utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para:
a) Determinar as dimensões do cilindro que minimizam a área total;
b) Verificar que o ponto encontrado corresponde a um mínimo;

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo o que segue foi extraído do enunciado e constitui os dados do problema):
  • Volume fixo do cilindro: \mathrm{V}=\pi r^{2}h=100\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Área total do cilindro (a ser minimizada): \mathrm{A}(r,h)=2\pi r^{2}+2\pi r h.
    As perguntas são:
    a) Determinar as dimensões (r,h) do cilindro que minimizam \mathrm{A}(r,h) sujeitas à restrição do volume dado.
    b) Verificar que o ponto encontrado corresponde a um mínimo da área.

Passo 2

Plano de solução (explicação didática do método que será usado).
  • Quando queremos minimizar uma função de duas variáveis \mathrm{A}(r,h) sujeita a uma restrição \mathrm{g}(r,h)=0, uma técnica poderosa é introduzir um multiplicador de Lagrange \lambda e formar a função Lagrangiana \mathcal{L}(r,h,\lambda)=\mathrm{A}(r,h)-\lambda\,\mathrm{g}(r,h).
  • Os pontos candidatos satisfazem as equações do sistema formado pelas derivadas parciais da Lagrangiana iguais a zero: \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r}=0,\qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h}=0,\qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=0.
  • Aqui a restrição é \mathrm{g}(r,h)=\pi r^{2}h-100=0. Também é importante lembrar que fisicamente r>0 e h>0.
    Vou aplicar esse procedimento passo a passo, mostrando cada conta.

Passo 3

Formar a Lagrangiana e calcular as derivadas parciais.
  • Definir a restrição \mathrm{g}(r,h)=\pi r^{2}h-100.
  • Formar a Lagrangiana \mathcal{L}(r,h,\lambda)=2\pi r^{2}+2\pi r h-\lambda\bigl(\pi r^{2}h-100\bigr).
  • Calcular as derivadas parciais. Primeiro, derivadas de \mathrm{A}: \frac{\partial \mathrm{A}}{\partial r}=4\pi r+2\pi h,\qquad \frac{\partial \mathrm{A}}{\partial h}=2\pi r.E as derivadas de \mathrm{g}: \frac{\partial \mathrm{g}}{\partial r}=2\pi r h,\qquad \frac{\partial \mathrm{g}}{\partial h}=\pi r^{2}.
  • Agora as equações \nabla\mathcal{L}=0: \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r}=4\pi r+2\pi h-\lambda(2\pi r h)=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h}=2\pi r-\lambda(\pi r^{2})=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=\pi r^{2}h-100=0.

Passo 4

Simplificar as equações e resolver o sistema.
  • Na segunda equação, dividir por \pi r (válido porque r>0): 2-\lambda r=0\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{2}{r}.
  • Substituir \lambda=\dfrac{2}{r} na primeira equação. Primeiro dividir a primeira equação por 2\pi para simplificar: 2r+h-\lambda r h=0.Substituindo \lambda: 2r+h-\frac{2}{r}\,r h=2r+h-2h=2r-h=0.Portanto h=2r.
  • Usar a restrição de volume \pi r^{2}h=100 com h=2r: \pi r^{2}(2r)=2\pi r^{3}=100 \quad\Rightarrow\quad r^{3}=\frac{50}{\pi}.Logo a solução exata para r e h é r=\left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3},\qquad h=2\left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3}.

Passo 5

Interpretação geométrica rápida (motivadora).
  • Notar que a relação obtida h=2r significa que a altura vale o diâmetro do cilindro (diâmetro =2r). Essa é uma propriedade clássica do cilindro de área mínima para volume fixo.

Passo 6

Cálculo aproximado numérico (útil para conferir).
  • Calcular aproximadamente \left(\dfrac{50}{\pi}\right)^{1/3}. Tomando \pi\approx3{,}14159, \frac{50}{\pi}\approx15{,}9155\quad\Rightarrow\quad r\approx2{,}52\\ \mathrm{m},
h\approx2\cdot2{,}52\approx5{,}04\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Verificação de que o ponto é um mínimo (teste usando redução a uma variável e segunda derivada).
  • É simples e pedagógico eliminar h pela restrição para obter uma função de uma variável. Da restrição: h=\frac{100}{\pi r^{2}}\qquad(r>0).Substituindo em \mathrm{A}(r,h): \mathrm{A}(r)=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot\frac{100}{\pi r^{2}}=2\pi r^{2}+\frac{200}{r}.
  • Calcular a derivada primeira (regra do poder e derivada da função recíproca): \mathrm{A}'(r)=4\pi r-\frac{200}{r^{2}}.Zerar \mathrm{A}'(r)=0 4\pi r=\frac{200}{r^{2}}\quad\Rightarrow\quad r^{3}=\frac{50}{\pi},que é exatamente o mesmo r encontrado antes (boa checagem).
  • Calcular a derivada segunda: \mathrm{A}''(r)=4\pi+\frac{400}{r^{3}}.Para r>0 ambas as parcelas são positivas, então \mathrm{A}''(r)>0. Pela condição usual do cálculo, se \mathrm{A}''(r)>0 no ponto crítico, esse ponto é um mínimo local.
  • Além disso, verificar comportamento nas extremidades: quando r\to0^{+}, \mathrm{A}(r)\sim\frac{200}{r}\to+\infty; quando r\to+\infty, \mathrm{A}(r)\sim2\pi r^{2}\to+\infty. Como a função \mathrm{A}(r) tende a +\infty nas duas extremidades e tem um único ponto crítico com \mathrm{A}''(r)>0, esse ponto crítico é de facto o mínimo global da área sob a restrição de volume.
  • Conclusão da verificação: o ponto encontrado corresponde a um mínimo (global) da área.

Resposta

r=\left(\dfrac{50}{\pi}\right)^{1/3}\\ \mathrm{m},\quad h=2\left(\dfrac{50}{\pi}\right)^{1/3}\\ \mathrm{m} (aprox. r\approx2,52\\ \mathrm{m},\\ h\approx5,04\\ \mathrm{m}).
Sim — o ponto corresponde a um mínimo global da área.

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