Um determinado solo possui \gamma_{\mathrm{s}}=27 \mathrm{kN} / \mathrm{m} 3, \mathrm{Sr}=70 \% \mathrm{e} \mathrm{w}=30 \%. Ao ser saturado, o seu volume sofre um acréscimo de 20 \%. Calcular a sua umidade final.

Passo 1

O enunciado pede a umidade final (umidade gravimétrica após saturação) de um solo que tem, inicialmente, as seguintes informações:
\gamma_{\mathrm{s}}=27\\ \mathrm{kN/m^{3}},\quad S_{r}=70\%=0{,}70,\quad w=30\%=0{,}30.
Ao ser saturado, o volume total do solo aumenta 20\%, isto é, o volume final V_{2} vale 1{,}2 vezes o volume inicial V_{1}:
V_{2}=1{,}2\,V_{1}.
Não há perda nem ganho de sólidos (massa dos sólidos constante). Queremos calcular a nova umidade gravimétrica w_{\text{final}}.

Passo 2

Definimos variáveis e relações básicas (explicando cada coisa):
  • W_{s}: peso (ou massa-peso) dos sólidos do solo.
  • W_{w}: peso da água.
  • V_{s}: volume dos sólidos.
  • V_{v}: volume dos vazios (ar + água).
  • V_{w}: volume de água.
  • e: índice de vazios, definido por \;e=\dfrac{V_{v}}{V_{s}}.
  • w: umidade gravimétrica, definida por \;w=\dfrac{W_{w}}{W_{s}}.
  • S_{r}: grau de saturação, definido por \;S_{r}=\dfrac{V_{w}}{V_{v}}.
  • Relação entre peso e volume da água: W_{w}=\gamma_{w}V_{w}, com \gamma_{w} o peso específico da água. Vamos usar \gamma_{w}=9{,}81\\ \mathrm{kN/m^{3}}.
  • Relação entre peso e volume dos sólidos: W_{s}=\gamma_{s}V_{s}, onde \gamma_{s} é dado.
Essas definições permitem passar de massas para volumes e vice-versa sem conhecer o volume absoluto.

Passo 3

Expressamos a condição inicial (antes da saturação) que liga w, S_{r} e e.
Inicialmente W_{w1}=w\,W_{s} (definição de umidade) e também W_{w1}=\gamma_{w}V_{w1}=\gamma_{w}S_{r}V_{v1}. Assim:
w\,W_{s}=\gamma_{w}S_{r}V_{v1}.
Mas W_{s}=\gamma_{s}V_{s} e e=\dfrac{V_{v1}}{V_{s}}. Substituindo:
w\,\gamma_{s}V_{s}=\gamma_{w}S_{r}(eV_{s}).
Cancelando V_{s} e isolando e obtemos a fórmula prática:
e=\dfrac{w\,\gamma_{s}}{\gamma_{w}S_{r}}.

Passo 4

Calculamos o índice de vazios inicial usando os valores numéricos:
e_{1}=\dfrac{0{,}30\cdot 27}{9{,}81\cdot 0{,}70}.
Fazendo as contas passo a passo:
0{,}30\cdot 27=8{,}1,
9{,}81\cdot 0{,}70=6{,}867,
e_{1}=\dfrac{8{,}1}{6{,}867}\approx 1{,}180137.

Passo 5

Agora consideramos o processo de saturação com aumento volumétrico. O volume total inicial é V_{1}=V_{s}+V_{v1}. Após o inchamento V_{2}=1{,}2V_{1}. O volume dos sólidos V_{s} não muda, portanto o novo volume de vazios é:
V_{v2}=V_{2}-V_{s}=1{,}2(V_{s}+V_{v1})-V_{s}=0{,}2V_{s}+1{,}2V_{v1}.
Dividindo por V_{s} obtemos o novo índice de vazios e_{2}:
e_{2}=\dfrac{V_{v2}}{V_{s}}=0{,}2+1{,}2\,e_{1}.

Passo 6

Substituímos e_{1} e calculamos e_{2}:
e_{2}=0{,}2+1{,}2\cdot 1{,}180137=0{,}2+1{,}416164\approx 1{,}616164.

Passo 7

Quando o solo fica saturado, S_{r2}=1, logo o volume de água final V_{w2}=V_{v2}=e_{2}V_{s}. O peso da água final é
W_{w2}=\gamma_{w}V_{w2}=\gamma_{w}e_{2}V_{s}.
O peso dos sólidos é W_{s}=\gamma_{s}V_{s}. Assim a umidade gravimétrica final é
w_{2}=\dfrac{W_{w2}}{W_{s}}=\dfrac{\gamma_{w}e_{2}V_{s}}{\gamma_{s}V_{s}}=\dfrac{\gamma_{w}}{\gamma_{s}}\,e_{2}.

Passo 8

Calculamos numericamente w_{2}:
w_{2}=\dfrac{9{,}81}{27}\cdot 1{,}616164\approx 0{,}363333\cdot 1{,}616164\approx 0{,}587684.
Convertendo para porcentagem:
w_{2}\approx 58{,}77\%\\ (\text{aproximadamente }58{,}8\%).

Resposta

w_{\text{final}}\approx 58{,}8\%

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