Um determinado tanque contém \operatorname{Ar} com V_{o l}=0,0380 \mathrm{~m}^{3}. Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque. Considere \mathrm{P}=250 \mathrm{kPa} e \mathrm{T}=30^{\circ} C. Considere o R_{\text {ar }}=286,9 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a massa específica do ar contido no tanque.
  • Determinar o peso do ar contido no tanque.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • V_{ol}=0,0380\\ \mathrm{m}^3.
  • P=250\\ \mathrm{kPa}.
  • T=30^\circ\mathrm{C}.
  • R_{\text{ar}}=286,9\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Observação: preciso usar uma constante gravitacional para obter o peso; vou assumir g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Vamos lembrar a relação do gás ideal que conecta pressão, volume, massa, constante do gás e temperatura. A forma usual é
P V = m R T
onde:
  • P é a pressão (em \mathrm{Pa});
  • V é o volume ocupado pelo gás (em \mathrm{m}^3);
  • m é a massa do gás (em \mathrm{kg});
  • R é a constante específica do gás (em \mathrm{J/(kg\cdot K)});
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
A massa específica (densidade) \rho é definida por \rho = \dfrac{m}{V}. Substituindo m=\rho V na equação do gás ideal obtemos uma fórmula direta para \rho:
P V = (\rho V) R T \quad\Rightarrow\quad P = \rho R T \quad\Rightarrow\quad \rho = \dfrac{P}{R T}
Explicando cada símbolo de novo, para não restar dúvida:
  • \rho é a massa específica que queremos (unidade \mathrm{kg\cdot m^{-3}});
  • P deve estar em \mathrm{Pa};
  • R é R_{\text{ar}}=286,9\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)};
  • T em kelvin.

Passo 3

Fazer conversões de unidades necessárias:
  • Converter pressão para pascal:
P = 250\\ \mathrm{kPa} = 250\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter temperatura para kelvin:
T = 30^\circ\mathrm{C} = 30 + 273,15 = 303,15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a massa específica usando \rho = \dfrac{P}{R T}. Substituindo os valores:
\rho = \dfrac{250\times10^{3}}{286,9 \cdot 303,15}.
Vamos calcular o denominador passo a passo:
286,9 \cdot 303,15 = 286,9\cdot300 + 286,9\cdot3,15.
Calcule cada termo:
286,9\cdot300 = 86\,070,
286,9\cdot3,15 = 286,9\cdot(3 + 0,15) = 860,7 + 43,035 = 903,735.
Somando:
286,9 \cdot 303,15 = 86\,070 + 903,735 = 86\,973,735.
Agora a divisão:
\rho = \dfrac{250\,000}{86\,973,735}\approx 2,874\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.
(Arredondei para quatro dígitos significativos para manter boa precisão.)

Passo 5

Calcular a massa de ar no tanque a título de passo intermediário (não era pedido diretamente, mas é útil):
m = \rho V_{ol} = 2,874\cdot 0,0380 = 0,1092\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Calcular o peso do ar. O peso W é dada por W = m g. Usando g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}:
W = 0,1092\cdot 9,81 \approx 1,071\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Resumo numérico final (mantendo unidades corretamente e com arredondamento compatível com os dados).

Resposta

\rho = 2,874\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}
W = 1,071\\ \mathrm{N}

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