Questão 3 (3 pontos): Uma placa plana de área igual
desliza paralelamente a uma superficie fixa, separada por uma fina camada de óleo de espessura igual a
. A placa superior se move com velocidade constante igual a
. O óleo entre as placas possui viscosidade absoluta de
. Qual é a tensão de cisalhamento atuante no fluido e qual é o valor da força tangencial necessária para manter a placa em movimento?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo isto veio do enunciado).
- Área da placa:
. - Espessura da camada de óleo (distância entre placas):
. - Velocidade da placa superior (constante):
. - Viscosidade absoluta informada:
(o enunciado escreveu apenas ; aqui adoto a unidade usual de viscosidade dinâmica, , pois faz sentido físico). - Perguntas do enunciado:
- Qual é a tensão de cisalhamento atuante no fluido?
- Qual é o valor da força tangencial necessária para manter a placa em movimento?
Passo 2
Entender o modelo físico e a fórmula que vamos usar (explicação didática).
- Quando uma placa plana desliza paralela a outra fixa, com uma camada fina de fluido entre elas e velocidade constante, o fluido sofre um escoamento simples chamado “escoamento de Couette” (perfil de velocidade linear entre as placas).
- Para um fluido newtoniano (óleos comuns se comportam assim nessas condições), a lei de viscosidade de Newton relaciona a tensão de cisalhamento
com o gradiente de velocidade perpendicular às placas:
Explicando cada símbolo:
-
é a tensão de cisalhamento no fluido (unidade: , que é ); -
é a viscosidade dinâmica do fluido (unidade: ); -
é a componente de velocidade paralela às placas, função da coordenada perpendicular às placas; -
é a derivada de em relação a — isso mede quanto a velocidade varia com a distância entre as placas (unidade: ).
Passo 3
Determinar o gradiente de velocidade
para este problema concreto.
- No escoamento de Couette entre placas paralelas com a placa inferior fixa e a superior movendo-se com velocidade
, o perfil de velocidade é aproximadamente linear: a velocidade varia de (na placa fixa) até (na placa móvel) ao longo da distância . - Portanto o gradiente de velocidade é
- Vamos converter
para metros em notação apropriada:
Passo 4
Calcular a tensão de cisalhamento
usando
. Vou mostrar os cálculos passo a passo para você poder reproduzir na prova sem calculadora difícil.
- Primeiro calcule
:
- Agora divida por
. Para facilitar a conta mental, multiplico numerador e denominador por :
- Calcule
. Como , obtemos
- Podemos arredondar razoavelmente para três algarismos significativos:
Passo 5
Calcular a força tangencial necessária
.
- A força tangencial total que atua sobre a placa é a tensão de cisalhamento multiplicada pela área:
- Usando
e :
- Arredondando de forma consistente:
Passo 6
Resumo físico e verificação rápida de unidades (para ganhar confiança na prova).
- Unidade da tensão:
. Ao multiplicar por área ( ) obtém-se , ou seja, força — está consistente. - Resultado faz sentido qualitativo: óleo bastante viscoso e camada muito fina => gradiente grande => tensão e força moderadas (ordem de 10^2 Pa e 10^2 N·m^0), não absurdas.
- Força final arredondada depende do número de algarismos que o enunciado pede; usei três algarismos significativos nas respostas acima.