Questão 3 (3 pontos): Uma placa plana de área igual 0,50 \mathrm{~m}^{2} desliza paralelamente a uma superficie fixa, separada por uma fina camada de óleo de espessura igual a 1,5 \mathrm{~mm}. A placa superior se move com velocidade constante igual a 0,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O óleo entre as placas possui viscosidade absoluta de 0,35 \mathrm{~Pa}. Qual é a tensão de cisalhamento atuante no fluido e qual é o valor da força tangencial necessária para manter a placa em movimento?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo isto veio do enunciado).
  • Área da placa: A=0,50\\ \mathrm{m}^2.
  • Espessura da camada de óleo (distância entre placas): h=1,5\\ \mathrm{mm}.
  • Velocidade da placa superior (constante): U=0,8\\ \mathrm{m/s}.
  • Viscosidade absoluta informada: \mu=0,35\\ \mathrm{Pa\cdot s} (o enunciado escreveu apenas \mathrm{Pa}; aqui adoto a unidade usual de viscosidade dinâmica, \mathrm{Pa\cdot s}, pois faz sentido físico).
  • Perguntas do enunciado:
    1. Qual é a tensão de cisalhamento atuante no fluido?
    2. Qual é o valor da força tangencial necessária para manter a placa em movimento?

Passo 2

Entender o modelo físico e a fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Quando uma placa plana desliza paralela a outra fixa, com uma camada fina de fluido entre elas e velocidade constante, o fluido sofre um escoamento simples chamado “escoamento de Couette” (perfil de velocidade linear entre as placas).
  • Para um fluido newtoniano (óleos comuns se comportam assim nessas condições), a lei de viscosidade de Newton relaciona a tensão de cisalhamento \tau com o gradiente de velocidade perpendicular às placas:
\tau=\mu\frac{du}{dy}.
Explicando cada símbolo:
  • \tau é a tensão de cisalhamento no fluido (unidade: \mathrm{Pa}, que é \mathrm{N/m}^2);
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido (unidade: \mathrm{Pa\cdot s});
  • u(y) é a componente de velocidade paralela às placas, função da coordenada y perpendicular às placas;
  • du/dy é a derivada de u em relação a y — isso mede quanto a velocidade varia com a distância entre as placas (unidade: \mathrm{s}^{-1}).

Passo 3

Determinar o gradiente de velocidade du/dy para este problema concreto.
  • No escoamento de Couette entre placas paralelas com a placa inferior fixa e a superior movendo-se com velocidade U, o perfil de velocidade é aproximadamente linear: a velocidade varia de 0 (na placa fixa) até U (na placa móvel) ao longo da distância h.
  • Portanto o gradiente de velocidade é
\frac{du}{dy}=\frac{U-0}{h}=\frac{U}{h}.
  • Vamos converter h para metros em notação apropriada:
h=1,5\\ \mathrm{mm}=1,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a tensão de cisalhamento \tau usando \tau=\mu\,(U/h). Vou mostrar os cálculos passo a passo para você poder reproduzir na prova sem calculadora difícil.
  • Primeiro calcule \mu U:
\mu U = 0,35\times0,8 = 0,28\quad(\text{unidade: }\mathrm{Pa\cdot s}\cdot\mathrm{m/s}=\mathrm{Pa\cdot m}).
  • Agora divida por h. Para facilitar a conta mental, multiplico numerador e denominador por 1000:
\tau=\frac{0,28}{1,5\times10^{-3}}=\frac{0,28\times1000}{1,5}= \frac{280}{1,5}.
  • Calcule \dfrac{280}{1,5}. Como 1,5\times186{,}666\ldots=280, obtemos
\tau=186{,}6\overline{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Podemos arredondar razoavelmente para três algarismos significativos:
\tau\approx186{,}7\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Calcular a força tangencial necessária F.
  • A força tangencial total que atua sobre a placa é a tensão de cisalhamento multiplicada pela área:
F=\tau A.
  • Usando \tau=186{,}6\overline{6}\\ \mathrm{Pa} e A=0,50\\ \mathrm{m}^2:
F=186{,}6\overline{6}\times0,50=93{,}3\overline{3}\\ \mathrm{N}.
  • Arredondando de forma consistente:
F\approx93{,}3\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Resumo físico e verificação rápida de unidades (para ganhar confiança na prova).
  • Unidade da tensão: \mathrm{Pa}=\mathrm{N/m}^2. Ao multiplicar por área ( \mathrm{m}^2) obtém-se \mathrm{N}, ou seja, força — está consistente.
  • Resultado faz sentido qualitativo: óleo bastante viscoso e camada muito fina => gradiente grande => tensão e força moderadas (ordem de 10^2 Pa e 10^2 N·m^0), não absurdas.
  • Força final arredondada depende do número de algarismos que o enunciado pede; usei três algarismos significativos nas respostas acima.

Resposta

\tau=186{,}7\\ \mathrm{Pa}
F=93{,}3\\ \mathrm{N}

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