Para um determinado tipo de bateria elétrica, a função de densidade de probabilidade de que x horas seja o tempo de vída útil de uma bateria escolhida ao acaso é dada por
f(x)=l 160 e^-x60, se x >= 0 0, se x<0
Encontre a probabilidade de que uma bateria escolhida ao acaso tenha um tempo de vida
(a) entre 15 e 25 horas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a vida útil de uma bateria elétrica e utiliza uma função de densidade de probabilidade, que é parte da matéria de Probabilidade e Estatística. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a probabilidade de um evento ocorrer dentro de um intervalo específico usando essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual tipo de distribuição estamos lidando. A função dada é:
f(x) = 160 e^-x60, & se x >= 0 0, & se x < 0
Essa é a função de densidade da Distribuição Exponencial, que é usada para modelar o tempo até a ocorrência de um evento, como a vida útil de uma bateria.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de que a bateria tenha uma vida útil entre 15 e 25 horas, precisamos calcular a integral da função de densidade de 15 a 25:
P(15 <= x <= 25) = integral15^25 160 e^-x60 dx

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A integral de 1theta e^-xtheta de a a b é:
P(a <= x <= b) = e^-atheta - e^-btheta
No nosso caso, theta = 60, a = 15 e b = 25.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
P(15 <= x <= 25) = e^-1560 - e^-2560 = e^-0.25 - e^-0.4167

Passo 6

Calculando os valores:
e^-0.25 approx 0.7788 e^-0.4167 approx 0.6592
Então:
P(15 <= x <= 25) approx 0.7788 - 0.6592 = 0.1196

Resposta

A probabilidade de que uma bateria escolhida ao acaso tenha um tempo de vida entre 15 e 25 horas é aproximadamente 11,96%.

Exercícios relacionados