Uma função densidade de probabilidade é uma funão f cujo domínio é o conjunto R e que satisfazem as seguintes condições:i) f(x) >= 0 para todo x em R e ii) integral-infty^infty f(x) d x=1. Considere a função densidade de probabilidade assim definda:
f(x)=l k e^-k x se x >= 0 0 se x<0
Verifique que a integral integral-infty^infty f(x) d x=1.

Passo 1

Temos uma função densidade de probabilidade definida por partes, e o objetivo é verificar que a área total sob a curva é 1, ou seja, que integral-infty^inftyf(x),dx=1. Vamos usar o conteúdo de integrais impróprias e da função exponencial.

Passo 2

Como f(x)=0 para x<0, a integral de -infty a infty reduz-se à integral de 0 a infty de k e^-k x. Ou seja,
integral-infty^inftyf(x),dx=integral0^inftyk e^-k x,dx

Passo 3

Para calcular essa integral, usamos que uma primitiva de e^-k x é -tfrac1ke^-k x. Logo,
integral0^inftyk e^-k x,dx=k[-1ke^-k x]0^infty=kl(0-l(-tfrac1kr)r)=1,
desde que k>0 para garantir convergência da integral imprópria.

Resposta

A integral integral-infty^inftyf(x),dx vale 1.

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