Sejam f e g duas funções definidas por:
f(x)=(raiz2)^3 sen(x)-1 e g(x)=(12)^3 sen^2(x)-1, x in R
A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é igual a
(A) 0 . (B) -1 / 4. © 1/4. (D) 1 / 2. (E) 1.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor mínimo de duas funções exponenciais em que aparece $\sin x$ e $\sin^2 x$, e depois somar esses mínimos. O conteúdo envolve exponenciais do tipo $a^u$ e análise de monotonicidade em intervalos definidos por $\sin x$ variando em $[-1,1]$ e $\sin^2 x$ em $[0,1]$.

Passo 2

Para $f(x)=(\sqrt{2})^{3\sin x-1}$ reescrevemos em base 2:
$ f(x)=(raiz2)^3sin x-1
Como a função $2^u$ é crescente em $u$, o valor de $f(x)$ será mínimo quando o expoente $\frac{3\sin x-1}{2}$ for mínimo. Esse expoente é linear em $\sin x$ com coeficiente positivo $3/2$, então atinge o mínimo em $\sin x=-1$.

Passo 3

Substituindo $\sin x=-1$ em $f(x)$:
$ sin x=-1

Passo 4

Para $g(x)=\bigl(\tfrac12\bigr){3\sin2 x-1}$ fazemos o mesmo:
$ g(x)=l(tfrac12r)^3sin^2 x-1
Definindo $t=\sin^2 x$ em $[0,1]$, o expoente $-3t+1$ é decrescente em $t$, logo o mínimo ocorre em $t=1$, isto é, $\sin^2 x=1$.

Passo 5

Substituindo em $g(x)$:
$ g(x)

Passo 6

Agora a gente soma os mínimos de $f$ e $g$: $
\tfrac14+\tfrac14$

Resposta

1/2

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