Para um determinado tipo de bateria elétrica, a função de densidade de probabilidade de que x horas seja o tempo de vída útil de uma bateria escolhida ao acaso é dada por
f(x)=l 160 e^-x60, se x >= 0 0, se x<0
Encontre a probabilidade de que uma bateria escolhida ao acaso tenha um tempo de vida
(b) pelos menos 50 horas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a vida útil de uma bateria elétrica, representada pela variável $ x $, e nos dá uma função de densidade de probabilidade para $ x $. Nosso conteúdo principal aqui é probabilidade, mais especificamente, a distribuição exponencial. Para resolver o item (b), precisamos encontrar a probabilidade de que uma bateria dure pelo menos 50 horas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de densidade de probabilidade que foi dada:
f(x) = 160 e^-x60, & se x >= 0 0, & se x < 0
Isso é uma distribuição exponencial com parâmetro lambda = 160. A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson, como a vida útil de uma bateria.

Passo 3

Queremos encontrar $ P(X \geq 50) $, ou seja, a probabilidade de que a bateria dure pelo menos 50 horas. Na distribuição exponencial, isso é igual a $ e^{-\lambda x} $.

Passo 4

Substituindo os valores que temos:
P(X >= 50) = e^-160 times 50 = e^-5060 = e^-56

Passo 5

Agora, vamos calcular $ e^{-\frac{5}{6}} $. Usando uma calculadora:
e^-56

Resposta

A probabilidade de que uma bateria escolhida ao acaso tenha um tempo de vida de pelo menos 50 horas é aproximadamente 0,4346, ou 43,46%.

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