Para um determinado tipo de bateria elétrica, a função de densidade de probabilidade de que x horas seja o tempo de vída útil de uma bateria escolhida ao acaso é dada por
Encontre a probabilidade de que uma bateria escolhida ao acaso tenha um tempo de vida
(b) pelos menos 50 horas.
(b) pelos menos 50 horas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a vida útil de uma bateria elétrica, representada pela variável $ x $, e nos dá uma função de densidade de probabilidade para $ x $. Nosso conteúdo principal aqui é probabilidade, mais especificamente, a distribuição exponencial. Para resolver o item (b), precisamos encontrar a probabilidade de que uma bateria dure pelo menos 50 horas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de densidade de probabilidade que foi dada:
Isso é uma distribuição exponencial com parâmetro
. A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson, como a vida útil de uma bateria.
Passo 3
Queremos encontrar $ P(X \geq 50) $, ou seja, a probabilidade de que a bateria dure pelo menos 50 horas. Na distribuição exponencial, isso é igual a $ e^{-\lambda x} $.
Passo 4
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ e^{-\frac{5}{6}} $. Usando uma calculadora:
Resposta
A probabilidade de que uma bateria escolhida ao acaso tenha um tempo de vida de pelo menos 50 horas é aproximadamente 0,4346, ou 43,46%.