Um determinado veículo, possui componentes x e y que variam com o tempo de acordo com:
\begin{aligned} & \mathrm{x}=28+7,2 \mathrm{t}-0,31 \mathrm{t}^{2} \\\ & \mathrm{y}=30-9,1 \mathrm{t}+0,22 \mathrm{t}^{2} \end{aligned}
(a) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância no instante t=2,0 \mathrm{~s}. (b) Calcule o vetor deslocamento e o vetor velocidade média no intervalo de tempo entre \mathrm{t}=0,0 \mathrm{~s} e \mathrm{t}=2,0 \mathrm{~s}. (c) Deduza a expressão para o vetor velocidade instantânea e o vetor aceleração. (d) Determine o módulo, direção e sentido da velocidade e aceleração no instante \mathrm{t}=2,0 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá as componentes coordenadas do veículo em função do tempo:
\mathrm{x}=28+7,2\mathrm{t}-0,31\mathrm{t}^{2}
\mathrm{y}=30-9,1\mathrm{t}+0,22\mathrm{t}^{2}
As perguntas são:
(a) Calcular as coordenadas (x,y) do veículo no instante \mathrm{t}=2,0\\ \mathrm{s} e a distância dessa posição à origem.
(b) Calcular o vetor deslocamento \Delta \vec{r} e a velocidade média \vec{v}_{\text{méd}}é no intervalo de \mathrm{t}=0,0\\ \mathrm{s} até \mathrm{t}=2,0\\ \mathrm{s}.
(c) Deducir a expressão do vetor velocidade instantânea \vec{v}(t) e do vetor aceleração \vec{a}(t).
(d) Determinar módulo, direção e sentido da velocidade e da aceleração no instante \mathrm{t}=2,0\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
x(t)=28+7,2t-0,31t^{2},\qquad y(t)=30-9,1t+0,22t^{2}.
O intervalo de tempo para (b) é \Delta t = 2,0-0,0=2,0\\ \mathrm{s}.
A partir daqui vou calcular passo a passo e explicar cada conceito usado.

Passo 2

(a) Calcular (x,y) em \mathrm{t}=2,0\\ \mathrm{s} e a distância até a origem.
Primeiro avalio as funções em t=2.
Calculo de x(2):
x(2)=28+7,2\cdot 2-0,31\cdot 2^{2}.
Explicação rápida da conta: 7,2\cdot 2=14,4 e 2^{2}=4 então 0,31\cdot 4=1,24. Logo
x(2)=28+14,4-1,24=41,16.
Calculo de y(2):
y(2)=30-9,1\cdot 2+0,22\cdot 2^{2}.
Explicação: 9,1\cdot 2=18,2 e 0,22\cdot 4=0,88. Logo
y(2)=30-18,2+0,88=12,68.
As coordenadas são (x,y)=(41,16,\;12,68).
Agora a distância (magnitude do vetor posição) até a origem: usamos a fórmula da distância euclidiana no plano:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Substituindo x(2) e y(2):
r(2)=\sqrt{41,16^{2}+12,68^{2}}.
Explicação das contas: 41,16^{2}=1694,1456 e 12,68^{2}=160,7824. Soma =1854,927999. A raiz quadrada dá
r(2)\approx 43,07.
Interpretação: no instante 2,0\\ \mathrm{s} a posição é (41,16,\;12,68) e a distância até a origem é aproximadamente 43,07 (mesmas unidades das coordenadas).

Passo 3

(b) Vetor deslocamento entre t=0 e t=2 e velocidade média.
Definição: o vetor deslocamento é \Delta \vec{r}=\vec{r}(t_{f})-\vec{r}(t_{i}). A velocidade média é \vec{v}_{\text{méd}}=\dfrac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}é.
Calculo de \vec{r}(0): avalio as funções em t=0:
x(0)=28+7,2\cdot 0-0,31\cdot 0^{2}=28,
y(0)=30-9,1\cdot 0+0,22\cdot 0^{2}=30.
Então \vec{r}(0)=(28,\;30).
Calculo do deslocamento:
\Delta \vec{r}=\vec{r}(2)-\vec{r}(0)=(41,16-28,\;12,68-30).
\Delta \vec{r}=(13,16,\;-17,32).
Interpretação: o veículo se moveu 13,16 unidades para a direita e -17,32 unidades (ou seja, 17,32 para baixo).
Agora a velocidade média:
\vec{v}_{\text{méd}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{(13,16,\;-17,32)}{2,0}.é
\vec{v}_{\text{méd}}=(6,58,\;-8,66).é
Explicação: cada componente dividida por 2,0 s dá as componentes médias da velocidade no intervalo.

Passo 4

(c) Deduzir \vec{v}(t) e \vec{a}(t) — conceito e regra prática.
Conceito: a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=\left(\frac{dx}{dt},\;\frac{dy}{dt}\right).
Regra de derivação usada (regra do poder e linearidade): a derivada de at^{n} é an t^{n-1}; a derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de uma constante é zero.
Aplicando a x(t)=28+7,2t-0,31t^{2}:
\frac{dx}{dt}=7,2-2\cdot 0,31\,t=7,2-0,62t.
Aplicando a y(t)=30-9,1t+0,22t^{2}:
\frac{dy}{dt}=-9,1+2\cdot 0,22\,t=-9,1+0,44t.
Portanto a velocidade vetorial:
\vec{v}(t)=\bigl(7,2-0,62t,\; -9,1+0,44t\bigr).
Aceleração instantânea: é a derivada da velocidade (ou segunda derivada da posição):
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\left(\frac{d^{2}x}{dt^{2}},\;\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\right).
Derivando as componentes de \vec{v}(t):
\frac{d}{dt}(7,2-0,62t)=-0,62 \quad(\text{constante}),
\frac{d}{dt}(-9,1+0,44t)=0,44 \quad(\text{constante}).
Logo
\vec{a}(t)=(-0,62,\;0,44).
Interpretação: a aceleração é constante no tempo, com componente em x negativa (tendendo a reduzir a velocidade em x) e componente em y positiva (tendendo a aumentar a velocidade em y).

Passo 5

(d) Valores numéricos em t=2,0\\ \mathrm{s} e módulos.
Primeiro avalio \vec{v}(2) usando a expressão deduzida:
v_{x}(2)=7,2-0,62\cdot 2=7,2-1,24=5,96,
v_{y}(2)=-9,1+0,44\cdot 2=-9,1+0,88=-8,22.
Portanto
\vec{v}(2)=(5,96,\;-8,22).
Avalio \vec{a}(2) (como a aceleração é constante, vale o mesmo para qualquer t):
\vec{a}(2)=(-0,62,\;0,44).
Agora os módulos (magnitudes). A fórmula da magnitude de um vetor (A,B) é \sqrt{A^{2}+B^{2}}.
Módulo da velocidade:
|\vec{v}(2)|=\sqrt{5,96^{2}+(-8,22)^{2}}.
Cálculo: 5,96^{2}=35,5216, 8,22^{2}=67,5684. Soma =103,09. Raiz:
|\vec{v}(2)|\approx 10,15.
Módulo da aceleração:
|\vec{a}(2)|=\sqrt{(-0,62)^{2}+0,44^{2}}.
Cálculo: 0,62^{2}=0,3844, 0,44^{2}=0,1936. Soma =0,5780. Raiz:
|\vec{a}(2)|\approx 0,76.

Passo 6

(d) Direção e sentido (interpretação angular e quadrantes).
Direção da velocidade: usamos o ângulo \theta_{v} medido a partir do eixo +x (ângulo padrão) dado por
\theta_{v}=\arctan\!\left(\frac{v_{y}}{v_{x}}\right).
Cálculo numérico:
\theta_{v}=\arctan\!\left(\frac{-8,22}{5,96}\right)=\arctan(-1,3792)\approx -54,5^\circ.
Interpretação de quadrante: v_{x}>0 e v_{y}<0 indica quarto quadrante, então o ângulo -54,5^\circ significa 54,5^\circ abaixo do eixo +x. Sentido: para a direita e para baixo (componente positiva em x e negativa em y).
Direção da aceleração: calculamos o ângulo \theta_{a} com a mesma fórmula:
\theta_{a}=\arctan\!\left(\frac{a_{y}}{a_{x}}\right)=\arctan\!\left(\frac{0,44}{-0,62}\right)=\arctan(-0,7097)\approx -35,4^\circ.
Mas atenção ao quadrante: a_{x}=-0,62<0 e a_{y}=0,44>0, portanto o vetor aceleração está no segundo quadrante. Para obter o ângulo padrão (medido a partir do eixo +x no sentido anti-horário), somamos 180^\circ ao resultado obtido por arctan quando o denominador é negativo; assim
\theta_{a}=180^\circ -35,4^\circ=144,6^\circ.
Interpretação alternativa: a aceleração faz um ângulo de 35,4^\circ acima do eixo negativo x; sentido: para a esquerda e para cima (componente x negativa e y positiva).
Resumindo a interpretação de sentido:
  • Velocidade em t=2: sentido para a direita e para baixo.
  • Aceleração em t=2: sentido para a esquerda e para cima.

Resposta

(a) (x,y)=(41,16,\;12,68) ; distância r(2)\approx 43,07.
(b) \Delta \vec{r}=(13,16,\;-17,32) ; \vec{v}_{\text{méd}}=(6,58,\;-8,66)é.
(c) \vec{v}(t)=\bigl(7,2-0,62t,\; -9,1+0,44t\bigr) ; \vec{a}(t)=(-0,62,\;0,44).
(d) \vec{v}(2)=(5,96,\;-8,22), |\vec{v}(2)|\approx 10,15, direção 54,5^\circ abaixo do eixo +x (ou \theta_{v}\approx -54,5^\circ); \vec{a}(2)=(-0,62,\;0,44), |\vec{a}(2)|\approx 0,76, direção \theta_{a}\approx 144,6^\circ (ou 35,4^\circ acima do eixo negativo x).

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