Um determinado veículo, possui componentes
e
que variam com o tempo de acordo com:
(a) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância no instante
. (b) Calcule o vetor deslocamento e o vetor velocidade média no intervalo de tempo entre
e
. (c) Deduza a expressão para o vetor velocidade instantânea e o vetor aceleração. (d) Determine o módulo, direção e sentido da velocidade e aceleração no instante
.
Passo 1
O enunciado dá as componentes coordenadas do veículo em função do tempo:
As perguntas são:
(a) Calcular as coordenadas do veículo no instante
e a distância dessa posição à origem.
(b) Calcular o vetor deslocamento e a velocidade média
no intervalo de
até
.
(c) Deducir a expressão do vetor velocidade instantânea e do vetor aceleração
.
(d) Determinar módulo, direção e sentido da velocidade e da aceleração no instante .
(a) Calcular as coordenadas
(b) Calcular o vetor deslocamento
(c) Deducir a expressão do vetor velocidade instantânea
(d) Determinar módulo, direção e sentido da velocidade e da aceleração no instante
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O intervalo de tempo para (b) é
.
A partir daqui vou calcular passo a passo e explicar cada conceito usado.
A partir daqui vou calcular passo a passo e explicar cada conceito usado.
Passo 2
(a) Calcular
em
e a distância até a origem.
Primeiro avalio as funções em
.
Calculo de
:
Explicação rápida da conta:
e
então
. Logo
Calculo de
:
Explicação:
e
. Logo
As coordenadas são
.
Agora a distância (magnitude do vetor posição) até a origem: usamos a fórmula da distância euclidiana no plano:
Substituindo
e
:
Explicação das contas:
e
. Soma
. A raiz quadrada dá
Interpretação: no instante
a posição é
e a distância até a origem é aproximadamente
(mesmas unidades das coordenadas).
Passo 3
(b) Vetor deslocamento entre
e
e velocidade média.
Definição: o vetor deslocamento é
. A velocidade média é
.
Calculo de
: avalio as funções em
:
Então
.
Calculo do deslocamento:
Interpretação: o veículo se moveu
unidades para a direita e
unidades (ou seja,
para baixo).
Agora a velocidade média:
Explicação: cada componente dividida por
s dá as componentes médias da velocidade no intervalo.
Passo 4
(c) Deduzir
e
— conceito e regra prática.
Conceito: a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:
Regra de derivação usada (regra do poder e linearidade): a derivada de
é
; a derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de uma constante é zero.
Aplicando a
:
Aplicando a
:
Portanto a velocidade vetorial:
Aceleração instantânea: é a derivada da velocidade (ou segunda derivada da posição):
Derivando as componentes de
:
Logo
Interpretação: a aceleração é constante no tempo, com componente em
negativa (tendendo a reduzir a velocidade em
) e componente em
positiva (tendendo a aumentar a velocidade em
).
Passo 5
(d) Valores numéricos em
e módulos.
Primeiro avalio
usando a expressão deduzida:
Portanto
Avalio
(como a aceleração é constante, vale o mesmo para qualquer
):
Agora os módulos (magnitudes). A fórmula da magnitude de um vetor
é
.
Módulo da velocidade:
Cálculo:
,
. Soma
. Raiz:
Módulo da aceleração:
Cálculo:
,
. Soma
. Raiz:
Passo 6
(d) Direção e sentido (interpretação angular e quadrantes).
Direção da velocidade: usamos o ângulo
medido a partir do eixo
(ângulo padrão) dado por
Cálculo numérico:
Interpretação de quadrante:
e
indica quarto quadrante, então o ângulo
significa
abaixo do eixo
. Sentido: para a direita e para baixo (componente positiva em
e negativa em
).
Direção da aceleração: calculamos o ângulo
com a mesma fórmula:
Mas atenção ao quadrante:
e
, portanto o vetor aceleração está no segundo quadrante. Para obter o ângulo padrão (medido a partir do eixo
no sentido anti-horário), somamos
ao resultado obtido por arctan quando o denominador é negativo; assim
Interpretação alternativa: a aceleração faz um ângulo de
acima do eixo negativo
; sentido: para a esquerda e para cima (componente
negativa e
positiva).
Resumindo a interpretação de sentido:
- Velocidade em
: sentido para a direita e para baixo. - Aceleração em
: sentido para a esquerda e para cima.
Resposta
(a)
; distância
.
(b) ;
.
(c) ;
.
(d) ,
, direção
abaixo do eixo
(ou
);
,
, direção
(ou
acima do eixo negativo
).
(b)
(c)
(d)