(1.0) Questão 1: Um elétron (carga
e massa
) tem uma velocidade
em uma região com campo magnético uniforme B .
(0.5) (a) Sabendo que a componente x do campo magnético é
, determine o campo magnético que exerce sobre o elétron uma força
.
(0.5) (b) Determine o raio da trajetória do elétron e o período do movimento circular.
(0.5) (a) Sabendo que a componente x do campo magnético é
(0.5) (b) Determine o raio da trajetória do elétron e o período do movimento circular.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Componente
dada, determinar o campo magnético que provoca sobre o elétron a força . - (b) Determinar o raio da trajetória do elétron e o período do movimento circular.
Informações fornecidas:
- Carga do elétron:
. - Massa do elétron:
. - Velocidade:
. - Força magnética:
. - Componente do campo:
.
Passo 2
Primeiro vamos colocar tudo em unidades SI (metros e segundos).
Converter a velocidade de
para
:
Então:
A força dada já está em
:
Passo 3
Escrevemos a expressão da força magnética (força de Lorentz sem campo elétrico):
Aqui
é a carga (em coulombs),
a velocidade (m/s) e
o campo magnético (tesla). O produto vetorial
tem componentes, para
e
:
Como foi dado
e sabemos
, substituímos:
Portanto a força é
Passo 4
Observação importante: a força fornecida tem componente em
igual a zero (não foi dada), isto é,
. Pela expressão acima:
Como
e
, devemos ter
para que
. Logo
Com
a expressão da força fica
Agora podemos determinar
usando as componentes
ou
. Usando a componente
:
Substituindo valores (usar as unidades SI já convertidas):
Então
Passo 5
Calculemos numericamente
:
Denominador: .
Portanto
Denominador:
Portanto
Verificação rápida usando a componente
:
Substituindo dá
, que coincide com a força dada. Portanto
Passo 6
Agora (b): para um elétron movendo-se perpendicularmente a um campo uniforme
a força magnética faz papel de força centrípeta. A magnitude da força magnética é
onde
é a componente da velocidade perpendicular ao campo. Como
está ao longo de
, toda a velocidade no plano
é perpendicular, então
A força centrípeta necessária para movimento circular de raio
é
Igualando magnitudes
(aqui usei o módulo
porque centrípeta tem magnitude positiva), podemos simplificar
(assumindo
) e obter
Para o período
do movimento circular: a frequência angular é
(razão: força magnética fornece aceleração centrípeta
, leva à mesma relação), e o período é
Passo 7
Calculemos
:
Passo 8
Calculemos o raio
:
Numerador:
, com potência
, ou seja
.
Denominador: e potência
, ou seja
.
Dividindo:
Denominador:
Dividindo:
Em unidades intuitivas,
.
Passo 9
Calculemos o período
:
Denominador como antes é
. Então
Resposta
(a)
(b)
(b)