(1.0) Questão 1: Um elétron (carga \mathrm{q}=-1,6 \times 10^{-19} \mathrm{C} e massa \mathrm{m}=9,1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} ) tem uma velocidade \mathrm{v}=(40 \mathrm{x}+35 \mathrm{y}) \mathrm{km} / \mathrm{s} em uma região com campo magnético uniforme B .
(0.5) (a) Sabendo que a componente x do campo magnético é \mathrm{Bx}=0, determine o campo magnético que exerce sobre o elétron uma força \mathbf{F}=(-4,2 \mathbf{x}+4,8 \mathbf{y}) \times 10^{-15} \mathrm{~N}.
(0.5) (b) Determine o raio da trajetória do elétron e o período do movimento circular.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Componente B_x=0 dada, determinar o campo magnético \mathbf{B} que provoca sobre o elétron a força \mathbf{F}=(-4{,}2\,\mathbf{x}+4{,}8\,\mathbf{y})\times10^{-15}\\ \mathrm{N}.
  • (b) Determinar o raio da trajetória do elétron e o período do movimento circular.
Informações fornecidas:
  • Carga do elétron: q=-1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Massa do elétron: m=9{,}1\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade: \mathbf{v}=(40\mathbf{x}+35\mathbf{y})\\ \mathrm{km/s}.
  • Força magnética: \mathbf{F}=(-4{,}2\mathbf{x}+4{,}8\mathbf{y})\times10^{-15}\\ \mathrm{N}.
  • Componente do campo: B_x=0.

Passo 2

Primeiro vamos colocar tudo em unidades SI (metros e segundos).
Converter a velocidade de \mathrm{km/s} para \mathrm{m/s}:
\mathbf{v}=(40\mathbf{x}+35\mathbf{y})\\ \mathrm{km/s}=(40000\mathbf{x}+35000\mathbf{y})\\ \mathrm{m/s}.
Então:
v_x=40000\\ \mathrm{m/s},\qquad v_y=35000\\ \mathrm{m/s},\qquad v_z=0.
A força dada já está em \mathrm{N}:
\mathbf{F}=(-4{,}2\times10^{-15}\,\mathbf{x}+4{,}8\times10^{-15}\,\mathbf{y})\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Escrevemos a expressão da força magnética (força de Lorentz sem campo elétrico):
\mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}.
Aqui q é a carga (em coulombs), \mathbf{v} a velocidade (m/s) e \mathbf{B} o campo magnético (tesla). O produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{B} tem componentes, para \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) e \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z):
\mathbf{v}\times\mathbf{B}= \big(v_yB_z-v_zB_y\big)\mathbf{x}+\big(v_zB_x-v_xB_z\big)\mathbf{y}+\big(v_xB_y-v_yB_x\big)\mathbf{z}.
Como foi dado B_x=0 e sabemos v_z=0, substituímos:
\mathbf{B}=(0,B_y,B_z),
\mathbf{v}\times\mathbf{B}=(v_yB_z)\mathbf{x}+(-v_xB_z)\mathbf{y}+(v_xB_y)\mathbf{z}.
Portanto a força é
\mathbf{F}=q\big(v_yB_z\mathbf{x}-v_xB_z\mathbf{y}+v_xB_y\mathbf{z}\big).

Passo 4

Observação importante: a força fornecida tem componente em z igual a zero (não foi dada), isto é, F_z=0. Pela expressão acima:
F_z=q\,v_xB_y.
Como q\neq0 e v_x\neq0, devemos ter B_y=0 para que F_z=0. Logo
\mathbf{B}=(0,0,B_z).
Com B_y=0 a expressão da força fica
\mathbf{F}=q\big(v_yB_z\mathbf{x}-v_xB_z\mathbf{y}\big)=qB_z\big(v_y\mathbf{x}-v_x\mathbf{y}\big).
Agora podemos determinar B_z usando as componentes x ou y. Usando a componente x:
F_x=q\,v_yB_z \quad\Rightarrow\quad B_z=\frac{F_x}{q\,v_y}.
Substituindo valores (usar as unidades SI já convertidas):
F_x=-4{,}2\times10^{-15}\\ \mathrm{N},\quad q=-1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{C},\quad v_y=35000\\ \mathrm{m/s}.
Então
B_z=\frac{-4{,}2\times10^{-15}}{(-1{,}6\times10^{-19})\times35000}.

Passo 5

Calculemos numericamente B_z:
Denominador: (-1{,}6\times10^{-19})\times35000=-5{,}6\times10^{-15}.
Portanto
B_z=\frac{-4{,}2\times10^{-15}}{-5{,}6\times10^{-15}}=0{,}75\\ \mathrm{T}.
Verificação rápida usando a componente y:
F_y=q(-v_xB_z)= -qv_xB_z.
Substituindo dá F_y=-(-1{,}6\times10^{-19})\times40000\times0{,}75=4{,}8\times10^{-15}\\ \mathrm{N}, que coincide com a força dada. Portanto
\mathbf{B}=(0,0,0{,}75)\\ \mathrm{T}.

Passo 6

Agora (b): para um elétron movendo-se perpendicularmente a um campo uniforme \mathbf{B} a força magnética faz papel de força centrípeta. A magnitude da força magnética é
|\mathbf{F}|=|q|\,v_\perp\,B,
onde v_\perp é a componente da velocidade perpendicular ao campo. Como \mathbf{B} está ao longo de z, toda a velocidade no plano xy é perpendicular, então
v_\perp=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.
A força centrípeta necessária para movimento circular de raio r é
F_\text{cent}=\frac{m v_\perp^2}{r}.
Igualando magnitudes |q|v_\perp B = \dfrac{m v_\perp^2}{r} (aqui usei o módulo |q| porque centrípeta tem magnitude positiva), podemos simplificar v_\perp (assumindo v_\perp\neq0) e obter
r=\frac{m v_\perp}{|q|B}.
Para o período T do movimento circular: a frequência angular é \omega=\dfrac{|q|B}{m} (razão: força magnética fornece aceleração centrípeta m\omega^2 r, leva à mesma relação), e o período é
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi m}{|q|B}.

Passo 7

Calculemos v_\perp:
v_\perp=\sqrt{(40000)^2+(35000)^2}\\ \mathrm{m/s}=\sqrt{1{,}6\times10^{9}+1{,}225\times10^{9}}=\sqrt{2{,}825\times10^{9}}.
v_\perp\approx5{,}3152\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Calculemos o raio r:
r=\frac{m v_\perp}{|q|B}=\frac{9{,}1\times10^{-31}\times 5{,}3152\times10^{4}}{1{,}6\times10^{-19}\times0{,}75}.
Numerador: 9{,}1\times5{,}3152\approx48{,}378, com potência 10^{-31+4}=10^{-27}, ou seja 4{,}8378\times10^{-26}.
Denominador: 1{,}6\times0{,}75=1{,}2 e potência 10^{-19}, ou seja 1{,}2\times10^{-19}.
Dividindo:
r\approx\frac{4{,}8378\times10^{-26}}{1{,}2\times10^{-19}}=4{,}03\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Em unidades intuitivas, r\approx4{,}03\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=403\\ \mathrm{nm}.

Passo 9

Calculemos o período T:
T=\frac{2\pi m}{|q|B}=\frac{2\pi\times9{,}1\times10^{-31}}{1{,}6\times10^{-19}\times0{,}75}.
Denominador como antes é 1{,}2\times10^{-19}. Então
T\approx\frac{2\pi\times9{,}1\times10^{-31}}{1{,}2\times10^{-19}}=2\pi\times7{,}5833\times10^{-12}.
T\approx4{,}76\times10^{-11}\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) \mathbf{B}=(0,0,0{,}75)\\ \mathrm{T}
(b) r=4{,}03\times10^{-7}\\ \mathrm{m};\quad T=4{,}76\times10^{-11}\\ \mathrm{s}

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