Um fio condutor retilíneo com \mathrm{L}=50,0 \mathrm{~cm} de comprimento é percorrido por uma corrente \mathrm{i}=0,500 A no sentido positivo do eixo x .
Suponha que o mesmo fio condutor retilíneo agora é submetido a um campo magnêtico não-uniforme \mathrm{B}=\left(3,0 \mathrm{x}+8,0 \mathrm{x}^{2} \mathrm{y}\right) \times 10^{-3} \mathrm{~T}, com x em metros. Determine a forca que o campo magnético exerce sobre o fio todo em termos dos vetores unitários x , y e z.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a força total que o campo magnético exerce sobre o fio inteiro, em termos dos vetores unitários \hat{x}, \hat{y} e \hat{z}.
Informações dadas (vou listar tudo com clareza):
  • Comprimento do fio: L=50,0\\ \mathrm{cm}=0,500\\ \mathrm{m}.
  • Corrente no fio: i=0,500\\ \mathrm{A} no sentido positivo do eixo x.
  • O fio é retilíneo e está ao longo do eixo x (isto é, orientado no sentido \hat{x}).
  • Campo magnético não-uniforme dado por \displaystyle \mathbf{B}=\bigl(3,0\,x\;\hat{x}+8,0\,x^{2}\;\hat{y}\bigr)\times10^{-3}\\ \mathrm{T}, com x em metros.
  • Pressuposição implícita necessária para resolver: o fio ocupa a região 0\le x\le L sobre o eixo x (partindo de x=0 até x=L), pois o enunciado diz que a corrente segue o sentido positivo de x. Vou usar essa posição para integrar ao longo do fio.

Passo 2

Apresentando a fórmula física que vamos usar e explicando suas partes de modo bem didático.
A força magnética sobre um pequeno trecho do fio que transporta corrente é dada por
\mathrm{d}\mathbf{F}=I\,\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B},
onde:
  • I é a intensidade da corrente elétrica (aqui I=0,500\\ \mathrm{A}),
  • \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} é o vetor deslocamento do elemento de fio (direção e comprimento do trecho infinitesimal),
  • \mathbf{B} é o campo magnético no ponto considerado,
  • \times é o produto vetorial (cross product).
Como o campo varia com x (não é uniforme), devemos somar (integrar) \mathrm{d}\mathbf{F} ao longo de todo o fio:
\mathbf{F}=\int_{\text{fio}} I\,\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B}.
Explicando o porquê: para campo não-uniforme, cada pedacinho do fio sente uma pequena força diferente; integrar soma todas essas forças vetorialmente.

Passo 3

Expressando \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} e \mathbf{B} para o nosso caso concreto.
  • O fio está ao longo do eixo x e o sentido da corrente é \hat{x}, portanto um elemento de comprimento é
\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\mathrm{d}x\;\hat{x}.
Aqui \mathrm{d}x é um comprimento infinitesimal ao longo do eixo x.
  • O campo magnético dado é
\mathbf{B}(x)=\bigl(3,0\,x\bigr)\times10^{-3}\,\hat{x} \;+\; \bigl(8,0\,x^{2}\bigr)\times10^{-3}\,\hat{y}.
Escrevendo de forma mais compacta,
\mathbf{B}(x)=B_{x}(x)\,\hat{x}+B_{y}(x)\,\hat{y},
com
B_{x}(x)=3,0\times10^{-3}\,x,\qquad B_{y}(x)=8,0\times10^{-3}\,x^{2}.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B}.
Substituindo \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\mathrm{d}x\,\hat{x} e \mathbf{B}=B_{x}\hat{x}+B_{y}\hat{y}:
\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B}=\mathrm{d}x\;\hat{x}\times\bigl(B_{x}\hat{x}+B_{y}\hat{y}\bigr).
Usamos a linearidade do produto vetorial e as propriedades básicas:
\hat{x}\times\hat{x}=\mathbf{0},\qquad \hat{x}\times\hat{y}=\hat{z}.
Portanto
\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B}=\mathrm{d}x\;\bigl(B_{x}\,\hat{x}\times\hat{x}+B_{y}\,\hat{x}\times\hat{y}\bigr) =\mathrm{d}x\;B_{y}\,\hat{z}.
Comentário didático: o componente B_{x} (paralelo ao fio) não contribui para a força, porque a força magnética sobre corrente é sempre perpendicular tanto ao fio quanto ao campo; quando fio e campo têm mesma direção, o produto vetorial é zero.

Passo 5

Agora escrevemos a expressão para a força total e montamos a integral.
Multiplicando por I e integrando de x=0 até x=L:
\mathbf{F}=I\int_{0}^{L} \mathrm{d}x\;B_{y}(x)\,\hat{z}.
Substituindo B_{y}(x)=8,0\times10^{-3}\,x^{2}:
\mathbf{F}=I\left(8,0\times10^{-3}\right)\int_{0}^{L} x^{2}\,\mathrm{d}x\;\hat{z}.

Passo 6

Calcular a integral e avaliar numericamente passo a passo.
A integral é elementar:
\int_{0}^{L} x^{2}\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{L}=\frac{L^{3}}{3}.
Logo
\mathbf{F}=I\left(8,0\times10^{-3}\right)\frac{L^{3}}{3}\,\hat{z}.
Substituindo os valores numéricos (lembrando L=0,500\\ \mathrm{m} e I=0,500\\ \mathrm{A}):
Calcule L^{3}:
L^{3}=\bigl(0,500\bigr)^{3}=0,125\\ \mathrm{m}^{3}.
Calcule \dfrac{L^{3}}{3}:
\frac{L^{3}}{3}=\frac{0,125}{3}=0,041666\ldots\\ \mathrm{m}^{3}.
Agora multiplica-se:
8,0\times10^{-3}\times\frac{L^{3}}{3}=8,0\times10^{-3}\times0,041666\ldots =3,3333\ldots\times10^{-4}.
Finalmente multiplica por I=0,500:
I\cdot\bigl(3,3333\ldots\times10^{-4}\bigr)=0,500\times3,3333\ldots\times10^{-4} =1,6666\ldots\times10^{-4}\\ \mathrm{N}.
Arredondando com três algarismos significativos, obtemos
F_{z}=1,67\times10^{-4}\\ \mathrm{N}.
Observação de direção: como o resultado é positivo em \hat{z}, a força total aponta no sentido positivo de \hat{z}.

Passo 7

Resumo interpretativo (rápido, motivador e para fixar): a componente B_{x} do campo não contribuiu porque é paralela ao fio; a componente B_{y} variando como x^{2} produziu uma força resultante ao longo de \hat{z} obtida pela integral de x^{2} ao longo do fio. Isso é um caminho que sempre funciona: escrever \mathrm{d}\mathbf{F}=I\,\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B}(x) e integrar sobre o fio quando B depende da posição.

Resposta

\mathbf{F}=0\,\hat{x}+0\,\hat{y}+1,67\times10^{-4}\,\hat{z}\\ \mathrm{N}

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