Um fio condutor retilíneo com
de comprimento é percorrido por uma corrente
A no sentido positivo do eixo x .
Suponha que o mesmo fio condutor retilíneo agora é submetido a um campo magnêtico não-uniforme
, com x em metros. Determine a forca que o campo magnético exerce sobre o fio todo em termos dos vetores unitários x , y e z.
Suponha que o mesmo fio condutor retilíneo agora é submetido a um campo magnêtico não-uniforme
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a força total que o campo magnético exerce sobre o fio inteiro, em termos dos vetores unitários
,
e
.
Informações dadas (vou listar tudo com clareza):
- Comprimento do fio:
. - Corrente no fio:
no sentido positivo do eixo . - O fio é retilíneo e está ao longo do eixo
(isto é, orientado no sentido ). - Campo magnético não-uniforme dado por
, com em metros. - Pressuposição implícita necessária para resolver: o fio ocupa a região
sobre o eixo (partindo de até ), pois o enunciado diz que a corrente segue o sentido positivo de . Vou usar essa posição para integrar ao longo do fio.
Passo 2
Apresentando a fórmula física que vamos usar e explicando suas partes de modo bem didático.
A força magnética sobre um pequeno trecho do fio que transporta corrente é dada por
onde:
-
é a intensidade da corrente elétrica (aqui ), -
é o vetor deslocamento do elemento de fio (direção e comprimento do trecho infinitesimal), -
é o campo magnético no ponto considerado, -
é o produto vetorial (cross product).
Como o campo varia com
(não é uniforme), devemos somar (integrar)
ao longo de todo o fio:
Explicando o porquê: para campo não-uniforme, cada pedacinho do fio sente uma pequena força diferente; integrar soma todas essas forças vetorialmente.
Passo 3
Expressando
e
para o nosso caso concreto.
- O fio está ao longo do eixo
e o sentido da corrente é , portanto um elemento de comprimento é
Aqui
é um comprimento infinitesimal ao longo do eixo
.
- O campo magnético dado é
Escrevendo de forma mais compacta,
com
Passo 4
Calcular o produto vetorial
.
Substituindo
e
:
Usamos a linearidade do produto vetorial e as propriedades básicas:
Portanto
Comentário didático: o componente
(paralelo ao fio) não contribui para a força, porque a força magnética sobre corrente é sempre perpendicular tanto ao fio quanto ao campo; quando fio e campo têm mesma direção, o produto vetorial é zero.
Passo 5
Agora escrevemos a expressão para a força total e montamos a integral.
Multiplicando por
e integrando de
até
:
Substituindo
:
Passo 6
Calcular a integral e avaliar numericamente passo a passo.
A integral é elementar:
Logo
Substituindo os valores numéricos (lembrando
e
):
Calcule
:
Calcule
:
Agora multiplica-se:
Finalmente multiplica por
:
Arredondando com três algarismos significativos, obtemos
Observação de direção: como o resultado é positivo em
, a força total aponta no sentido positivo de
.
Passo 7
Resumo interpretativo (rápido, motivador e para fixar): a componente
do campo não contribuiu porque é paralela ao fio; a componente
variando como
produziu uma força resultante ao longo de
obtida pela integral de
ao longo do fio. Isso é um caminho que sempre funciona: escrever
e integrar sobre o fio quando
depende da posição.