Um elétron está confinado em um poço de potencial finito com largura de 4,7 \mathrm{~nm} e altura (do potencial) de 9,8 \mathrm{eV}. Qual é o número máximo de estados ligados deste poço finito?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é o número máximo de estados ligados de um elétron num poço de potencial finito de largura 4{,}7\\ \mathrm{nm} e altura 9{,}8\\ \mathrm{eV}?”\n
Informações fornecidas:
\;L=4{,}7\\ \mathrm{nm}, \;V_0=9{,}8\\ \mathrm{eV}, elétron com massa \;m=m_e.\n
Objetivo: contar quantos níveis ligados (estados com energia E<V_0) cabem nesse poço.

Passo 2

Explicação física e estratégia: num poço quadrado finito 1D simétrico, os estados ligados correspondem a soluções discretas das equações transcendentais. Uma forma prática e usual (e suficientemente precisa aqui) é usar a quantidade adimensional
z_0=\frac{L}{2}\,\frac{\sqrt{2mV_0}}{\hbar},
que mede, em unidades adimensionais, a “profundidade + largura” do poço. Cada nível ligado corresponde a um valor de
z=\frac{kL}{2},
com 0<z<z_0. Graficamente, há no máximo uma solução por intervalo \left((n-1)\frac{\pi}{2},\,n\frac{\pi}{2}\right). Assim, o número máximo de estados ligados N é dado pela parte inteira de
\frac{2z_0}{\pi}.
Vou calcular z_0 e usar essa fórmula (é a maneira direta, frequentemente ensinada em física matemática, e apropriada para provas).

Passo 3

Escrevendo a fórmula de forma explícita e indicando as constantes que vamos usar:
z_0=\frac{L}{2}\,\frac{\sqrt{2m_e V_0}}{\hbar}.
Aqui:
  • L é a largura do poço ( 4{,}7\\ \mathrm{nm});
  • m_e é a massa do elétron ( 9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg});
  • V_0 deve estar em joules ( 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J});
  • \hbar é a constante reduzida de Planck ( 1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}).\n
    Vou converter V_0 para joules e calcular cada passo numericamente (mostrando contas de forma que você consiga repetir na prova).

Passo 4

Converter V_0 em joules:
V_0 = 9{,}8\\ \mathrm{eV} = 9{,}8\times1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} =1{,}57013210\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Calcular o fator sob a raiz:
2m_e V_0 = 2\times(9{,}10938356\times10^{-31})\times(1{,}57013210\times10^{-18}) \approx 2{,}860\! \times10^{-48}\\ \mathrm{(SI)}.
Dividir por \hbar^2 (vou primeiro computar \hbar^2):
\hbar^2=(1{,}054571817\times10^{-34})^2\approx 1{,}112121\times10^{-68}.
Agora
\frac{2m_e V_0}{\hbar^2}\approx\frac{2{,}860\times10^{-48}}{1{,}112121\times10^{-68}} \approx 2{,}5729\times10^{20}.
A raiz quadrada:
\frac{\sqrt{2m_e V_0}}{\hbar} \approx \sqrt{2{,}5729\times10^{20}} \approx 1{,}6038\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Multiplicar por L/2 com L/2=2{,}35\times10^{-9}\\ \mathrm{m}:
z_0 = (2{,}35\times10^{-9})\times(1{,}6038\times10^{10}) \approx 37{,}49.
Portanto \;z_0\approx 37{,}49.

Passo 5

Determinar o número máximo N usando
N=\left\lfloor\frac{2z_0}{\pi}\right\rfloor.
Calcular:
\frac{2z_0}{\pi}=\frac{2\times37{,}49}{3{,}14159265}\approx 23{,}86.
A parte inteira é
N=\lfloor 23{,}86\rfloor = 23.
Ou seja, cabem no máximo 23 estados ligados.

Passo 6

Checagem cruzada (intuitiva): para ter certeza, posso comparar com os níveis do poço infinito (aproximação fácil): o primeiro nível do poço infinito vale
E_1^{(\infty)}=\frac{\pi^2\hbar^2}{2m_e L^2}\approx 0{,}01702\\ \mathrm{eV}.
Então E_n^{(\infty)}=n^2 E_1^{(\infty)}. Para n=23 obtemos E_{23}^{(\infty)}\approx 9{,}00\\ \mathrm{eV}<9{,}8\\ \mathrm{eV}; para n=24 obtemos E_{24}^{(\infty)}\approx 9{,}80\\ \mathrm{eV} (muito próximo de V_0) — isso confirma que o 24º nível estaria no limite ou acima de V_0 e portanto não garante-se ligado. A conta rigorosa via z_0 deu 23, que é o número correto de estados ligados.

Resposta

23 estados ligados.

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