Um elétron está confinado em um poço de potencial finito com largura de
e altura (do potencial) de
. Qual é o número máximo de estados ligados deste poço finito?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual é o número máximo de estados ligados de um elétron num poço de potencial finito de largura
e altura
?”\n
Informações fornecidas:
,
, elétron com massa
.\n
Objetivo: contar quantos níveis ligados (estados com energia ) cabem nesse poço.
Informações fornecidas:
Objetivo: contar quantos níveis ligados (estados com energia
Passo 2
Explicação física e estratégia: num poço quadrado finito 1D simétrico, os estados ligados correspondem a soluções discretas das equações transcendentais. Uma forma prática e usual (e suficientemente precisa aqui) é usar a quantidade adimensional
que mede, em unidades adimensionais, a “profundidade + largura” do poço. Cada nível ligado corresponde a um valor de
com
. Graficamente, há no máximo uma solução por intervalo
. Assim, o número máximo de estados ligados
é dado pela parte inteira de
Vou calcular
e usar essa fórmula (é a maneira direta, frequentemente ensinada em física matemática, e apropriada para provas).
Passo 3
Escrevendo a fórmula de forma explícita e indicando as constantes que vamos usar:
Aqui:
-
é a largura do poço ( ); -
é a massa do elétron ( ); -
deve estar em joules ( ); -
é a constante reduzida de Planck ( ).\n
Vou converterpara joules e calcular cada passo numericamente (mostrando contas de forma que você consiga repetir na prova).
Passo 4
Converter
em joules:
Calcular o fator sob a raiz:
Dividir por
(vou primeiro computar
):
Agora
A raiz quadrada:
Multiplicar por
com
:
Portanto
Passo 5
Determinar o número máximo
usando
Calcular:
A parte inteira é
Ou seja, cabem no máximo
estados ligados.
Passo 6
Checagem cruzada (intuitiva): para ter certeza, posso comparar com os níveis do poço infinito (aproximação fácil): o primeiro nível do poço infinito vale
Então
. Para
obtemos
; para
obtemos
(muito próximo de
) — isso confirma que o 24º nível estaria no limite ou acima de
e portanto não garante-se ligado. A conta rigorosa via
deu
, que é o número correto de estados ligados.
Resposta
23 estados ligados.