Determinando a convergência ou a divergência
Quais das séries alternadas nos exercícios 1-10 convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
sumn=1^infty(-1)^n ln (1+1n)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n lnl(1+tfrac1nr)
converge ou diverge. O conteúdo aqui é o teste de convergência de séries alternadas (teste de Leibniz), que exige verificar se os termos em valor absoluto são positivos, decrescentes e tendem a zero.

Passo 2

Identificamos os termos em valor absoluto como
an=lnl(1+tfrac1nr)>0
Precisamos conferir também o limite
limntoinftyan=limntoinftylnl(1+tfrac1nr)=ln(1+0)=0

Passo 3

Para aplicar o teste de Leibniz, verificamos se (an) é decrescente. Considere a função contínua
f(x)=lnl(1+tfrac1xr), x>=1
Calculando a derivada:
$$
f’(x)=\frac{1}{1+1/x}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{x^2}\bigr)
=-\frac{1}{x^2,(1+1/x)}<0
$$
Logo, f'(x)=11+1/xcdotl(-tfrac1x^2r) =-1x^2,(1+1/x)<0 é decrescente em f(x), e portanto [1,infty) forma uma sequência decrescente.

Passo 4

Como an>0, an decrescente e anto0, pelo teste de Leibniz a série alternada converge. Observando também que
lnl(1+tfrac1nr)simtfrac1n
e a série dos valores absolutos diverge (pois é comparável a sum1/n), concluímos que a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz.

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