Determinando a convergência ou a divergência
Quais das séries alternadas nos exercícios 1-10 convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
Quais das séries alternadas nos exercícios 1-10 convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série alternada
converge ou diverge. O conteúdo aqui é o teste de convergência de séries alternadas (teste de Leibniz), que exige verificar se os termos em valor absoluto são positivos, decrescentes e tendem a zero.
Passo 2
Identificamos os termos em valor absoluto como
Precisamos conferir também o limite
Passo 3
Para aplicar o teste de Leibniz, verificamos se
é decrescente. Considere a função contínua
Calculando a derivada:
$$
f’(x)=\frac{1}{1+1/x}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{x^2}\bigr)
=-\frac{1}{x^2,(1+1/x)}<0
=-\frac{1}{x^2,(1+1/x)}<0
$$
Logo, é decrescente em
, e portanto
forma uma sequência decrescente.
Logo,
Passo 4
Como
,
decrescente e
, pelo teste de Leibniz a série alternada converge. Observando também que
e a série dos valores absolutos diverge (pois é comparável a
Resposta
A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz.