Determinando a convergência ou a divergência
Quais das séries alternadas nos exercícios 1-10 convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
sumn=2^infty(-1)^n+1 1ln n

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para determinar se a série alternada
sumn=2^infty (-1)^n+1 1ln n
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries alternadas e aplicar o Teste da Série Alternada. Precisaremos verificar se os termos da série diminuem e se o limite deles tende a zero.

Passo 2

Primeiro, identifique os termos da série. Aqui, temos uma série alternada onde cada termo é dado por:
an = 1ln n

Passo 3

Agora, vamos verificar se os termos $ a_n $ são decrescentes. Observamos que, conforme $ n $ aumenta, $ \ln n $ também aumenta, o que faz com que $ \frac{1}{\ln n} $ diminua. Portanto, os termos são decrescentes.

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o limite de $ a_n $ quando $ n $ tende ao infinito:
an
Como o limite é zero, essa condição do Teste da Série Alternada é satisfeita.

Passo 5

Com as duas condições verificadas – termos decrescentes e limite zero – podemos concluir, pelo Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz), que a série original
sumn=2^infty (-1)^n+1 1ln n
converge.

Passo 6

Porém, para determinar se a convergência é absoluta ou condicional, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=2^infty 1ln n
Usando o Teste da Integral, integramos $ \frac{1}{\ln x} $ e constatamos que a integral diverge. Isso significa que a série dos valores absolutos também diverge.

Resposta

A série
sumn=2^infty (-1)^n+1 1ln n
converge condicionalmente.

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