Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=t^2 cos t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função f(t)=t^2
cost. O conteúdo envolvido é a Transformada de Laplace e vamos precisar usar a propriedade de derivadas em s que relaciona L{t^n
f(t)} com derivadas de L{f(t)}.

Passo 2

Para começar, lembramos a transformada de Laplace de cost:
Lcos t = ss^2+1

Passo 3

A propriedade de derivadas em s diz que, para n inteiro não negativo,
Lt^n f(t) = (-1)^n d^nds^nl[F(s)r],
onde F(s)=L{f(t)}. No nosso caso, f(t)=cos
t e n=2, logo (-1)^2=1 e
Lt^2cos t = d^2ds^2! l(ss^2+1r)

Passo 4

Agora calculamos a primeira derivada:
ddsl(ss^2+1r) = (s^2+1)cdot1 - scdot2s(s^2+1)^2 = 1-s^2(s^2+1)^2

Passo 5

Em seguida, a segunda derivada:
ddsl(1-s^2(s^2+1)^2r) = -2s(s^2+1)^2 - (1-s^2)cdot4s(s^2+1)(s^2+1)^4 = -2s(3-s^2)(s^2+1)^3

Passo 6

Por fim, reescrevendo o sinal,
Lt^2cos t = 2s,(s^2-3)(s^2+1)^3

Resposta

Lt^2cos t = 2s,(s^2-3)(s^2+1)^3

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