Calcule L^-1e^-s(12 s-12 s+4)

Passo 1

O enunciado pede para calcular L^-1e^-s(tfrac12s-tfrac12s+4). O conteúdo principal é a transformada inversa de Laplace e, em especial, a propriedade de deslocamento no tempo: L^-1e^-a sF(s)=u(t-a)f(t-a).

Passo 2

Vamos separar a parte sem o deslocamento definindo G(s)=tfrac12s-tfrac12s+4. Podemos fatorar tfrac12:
G(s)=12l(1s-1s+2r)

Passo 3

Agora calculamos g(t)=L^-1G(s) usando linearidade e transformadas básicas. Sabemos que L^-11/s=1 e L^-11/(s+2)=e^-2t. Assim:
g(t)=12l(1-e^-2tr)

Passo 4

Finalmente, aplicamos a propriedade do deslocamento no tempo para e^-sG(s). Como o atraso é a=1, temos:
L^-1e^-sG(s)=u(t-1),g(t-1)
Substituindo g(t-1):
L^-1e^-s(tfrac12s-tfrac12s+4)=u(t-1)12l(1-e^-2(t-1)r)

Resposta

u(t-1)tfrac12l(1-e^-2(t-1)r)

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