Determinando a convergência ou a divergência
Quais das séries alternadas nos exercícios 1-10 convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
sumn=2^infty(-1)^n+1 ln nln n^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma série alternada, que é do tipo sumn=2^infty(-1)^n+1 ln nln n^2. O objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, soma todos os termos e dá um número finito) ou diverge (não dá um número finito). Pra isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testar a convergência delas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão ln nln n^2. Sabemos que ln n^2 = 2 ln n. Então:
ln nln n^2 = ln n2 ln n = 12
Então, a nossa série fica:
sumn=2^infty(-1)^n+1 cdot 12

Passo 3

Agora, percebemos que a série está na forma de uma série alternada, onde os termos alternam entre positivo e negativo. A série simplificada é:
12 - 12 + 12 - 12 + cdots
Isso é o que chamamos de série alternada com termos constantes.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série alternada sum (-1)^n bn converge se:
  1. Os termos bn são positivos.
  2. Os termos bn diminuem e tendem a zero quando n cresce.
No nosso caso, bn = 12, que é positivo, mas não está diminuindo e não tende a zero.

Passo 5

Como os termos bn = 12 não estão diminuindo e não tendem a zero, o Teste da Série Alternada não garante a convergência. Aliás, como os termos não se aproximam de zero, a série não converge.

Resposta

A série sumn=2^infty(-1)^n+1 ln nln n^2 diverge porque os termos não tendem a zero.

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