Determinando a convergência ou a divergência
Quais das séries alternadas nos exercícios 1-10 convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
Quais das séries alternadas nos exercícios 1-10 convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma série alternada, que é do tipo
. O objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, soma todos os termos e dá um número finito) ou diverge (não dá um número finito). Pra isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testar a convergência delas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
. Então:
Então, a nossa série fica:
Passo 3
Agora, percebemos que a série está na forma de uma série alternada, onde os termos alternam entre positivo e negativo. A série simplificada é:
Isso é o que chamamos de série alternada com termos constantes.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série alternada
converge se:
- Os termos
são positivos. - Os termos
diminuem e tendem a zero quando cresce.
No nosso caso,
, que é positivo, mas não está diminuindo e não tende a zero.
Passo 5
Como os termos
não estão diminuindo e não tendem a zero, o Teste da Série Alternada não garante a convergência. Aliás, como os termos não se aproximam de zero, a série não converge.
Resposta
A série
diverge porque os termos não tendem a zero.