Q 4: \operatorname{Se}(x, y)=\left(\frac{-5 \sqrt{2}}{2}, \frac{5 \sqrt{2}}{2}\right), então:
a (r, \theta)=(5, \pi / 4)
b (r, \theta)=(5,3 \pi / 4)
( r, \theta)=(5,5 \pi / 4)
d (r, \theta)=(5,7 \pi / 4)

Passo 1

O enunciado dá o ponto cartesiano \bigl(x,y\bigr)=\Bigl(-\tfrac{5\sqrt{2}}{2},\,\tfrac{5\sqrt{2}}{2}\Bigr)
e pede suas coordenadas polares (r,\theta). Vamos usar r = \sqrt{x^2 + y^2} e
\theta = \operatorname{atan2}(y,x),
ajustando o quadrante.

Passo 2

Calculamos r via
r = \sqrt{\Bigl(-\tfrac{5\sqrt{2}}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{5\sqrt{2}}{2}\Bigr)^2}.
Como \bigl(-\tfrac{5\sqrt{2}}{2}\bigr)^2 = \tfrac{50}{4} = 12,5 e o mesmo vale para y^2, segue
r = \sqrt{12,5 + 12,5} = \sqrt{25} = 5.

Passo 3

Agora \theta vem de
\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{\tfrac{5\sqrt{2}}{2}}{-\tfrac{5\sqrt{2}}{2}} = -1.
A referência é \arctan(1)=\pi/4. Como x<0 e y>0, estamos no segundo quadrante, logo
\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.

Passo 4

Portanto, as coordenadas polares são
(r,\theta) = \Bigl(5,\;\tfrac{3\pi}{4}\Bigr),
que corresponde à alternativa (b).

Resposta

(5,\tfrac{3\pi}{4})

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