Qual é o determinante da seguinte matriz?
C=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 4 \\\\ 5 & 6 & 0 \end{array}\right)
(a) 2
(b) não existe determinante
(c) 1
(d) -1
(e) -2

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
C=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 4 \\\\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}
e dá alternativas: (a) \,2, (b) não existe determinante, (c) \,1, (d) -1, (e) -2.
Informações relevantes: os elementos da matriz C são exatamente os mostrados acima. A pergunta é: qual é o valor de \det\text{(C)}?

Passo 2

Vou explicar uma forma simples e direta de calcular determinantes de matrizes 3\times3: a regra de Sarrus. É um truquezinho prático que funciona só para 3\times3. Para uma matriz genérica
\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix},
a regra de Sarrus diz que
\det = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh.
Aqui cada produto é o produto dos elementos de uma diagonal (três tipos a favor e três contra). Explico o que cada letra representa: a,b,c,d,e,f,g,h,i são os nove elementos da matriz, lidos linha a linha. A fórmula pega três diagonais que “descem para a direita” e soma, e depois subtrai três diagonais que “descem para a esquerda”. É uma maneira mecânica e rápida para 3\times3.

Passo 3

Agora aplico a regra de Sarrus à nossa matriz C. Identificando:
a=1,\quad b=2,\quad c=3,
d=0,\quad e=1,\quad f=4,
g=5,\quad h=6,\quad i=0.
Substituindo na fórmula
\det\text{(C)}= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh.
Calculo cada termo separadamente:
aei = 1\cdot 1\cdot 0 = 0,
bfg = 2\cdot 4\cdot 5 = 2\cdot 20 = 40,
cdh = 3\cdot 0\cdot 6 = 0,
então a soma dos três primeiros termos é
0 + 40 + 0 = 40.
Agora os três termos que serão subtraídos:
ceg = 3\cdot 1\cdot 5 = 15,
bdi = 2\cdot 0\cdot 0 = 0,
afh = 1\cdot 4\cdot 6 = 24,
a soma desses é
15 + 0 + 24 = 39.
Portanto
\det\text{(C)} = 40 - 39 = 1.

Passo 4

Interpretação rápida: o determinante deu \,1. Determinante sendo \,1 significa, entre outras coisas, que a matriz é invertível e que a transformação linear associada preserva (orientação e) área no sentido de fator 1. Mas o que interessa para a prova é que o valor numérico pedido é \,1.

Resposta

(c) 1

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