Por exemplo, o polinômio p(\lambda)=\lambda^{2}-\lambda-2 pode ser fatorado para p(\lambda)=(\lambda+1)(\lambda-2).
Passo 1
O enunciado pede para fatorar como polinômios em \lambda os três determinantes abaixo. As informações dadas são exatamente as matrizes cujos determinantes devemos calcular e fatorar:
Portanto, para cada matriz devemos: (i) calcular o determinante como polinômio em \lambda e (ii) fatorar esse polinômio em fatores lineares (quando possível). A resolução começa no Passo 2.]
Passo 2
Regra útil que vamos usar (aulas rápidas de teoria): o determinante de uma matriz em blocos diagonais é o produto dos determinantes dos blocos diagonais. Mais simples ainda: se a matriz é triangular ou tem zeros que isolam blocos, podemos multiplicar determinantes dos blocos. Também lembraremos a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2:
\text{se }B=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\text{ então }\det(B)=ad-bc.ã
Isto é tudo que precisamos para as matrizes dadas, porque todas possuem um bloco 2\times2 idêntico \begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[2pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix} e entradas diagonais isoladas.]
Passo 3
Calculemos primeiro o determinante do bloco 2\times2 que aparece nas três matrizes:
Fatorando \lambda^2-2\lambda por fator comum \lambda:
\lambda^2-2\lambda=\lambda(\lambda-2).
Portanto
\det(B)=\lambda(\lambda-2).]
Passo 4
Agora vamos ao primeiro determinante \det(A_1). Observa-se que A_1 é uma matriz com o elemento 2-\lambda isolado na primeira linha/coluna e o bloco B ocupando as posições restantes; assim
\det(A_1)=(2-\lambda)\det(B).
Usando o resultado do Passo 3:
\det(A_1)=(2-\lambda)\,\lambda(\lambda-2).
Queremos uma fatoração limpa em fatores lineares. Note que 2-\lambda=-(\lambda-2). Substituindo:
Se preferir, pode escrever também \lambda(2-\lambda)(\lambda-2), mas -\lambda(\lambda-2)^2 deixa claro a multiplicidade do zero em \lambda=2.
Passo 5
Agora o segundo determinante \det(A_2). A matriz A_2 é essencialmente diagonal em blocos: o primeiro elemento -1-\lambda isola-se, depois 2-\lambda isola-se, e por fim aparece o bloco B. Logo o determinante é o produto dos determinantes desses blocos:
Podemos reescrever (1+\lambda) como (\lambda+1), então:
\det(A_2)=\lambda(\lambda+1)(\lambda-2)^2.
Passo 7
Finalmente o terceiro determinante \det(A_3). A estrutura de A_3 é novamente blocos diagonais: primeiro -1-\lambda isolado, depois o bloco B, depois o escalar 2-\lambda isolado. Assim