Os determinantes abaixo são polinômios em \lambda. Fatore esses polinômios.
\left|\begin{array}{ccc}2-\lambda & 0 & 0 \\\\ 0 & 1-\lambda & 1 \\\\ 0 & 1 & 1-\lambda\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cccc}-1-\lambda & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2-\lambda & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1-\lambda & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1-\lambda\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cccc}-1-\lambda & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1-\lambda & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1-\lambda & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2-\lambda\end{array}\right|
Por exemplo, o polinômio p(\lambda)=\lambda^{2}-\lambda-2 pode ser fatorado para p(\lambda)=(\lambda+1)(\lambda-2).

Passo 1

O enunciado pede para fatorar como polinômios em \lambda os três determinantes abaixo. As informações dadas são exatamente as matrizes cujos determinantes devemos calcular e fatorar:
A_1=\begin{pmatrix}2-\lambda & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1-\lambda & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 1-\lambda\end{pmatrix}, \qquad A_2=\begin{pmatrix}-1-\lambda & 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 2-\lambda & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1-\lambda & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1-\lambda\end{pmatrix},
A_3=\begin{pmatrix}-1-\lambda & 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1-\lambda & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 1-\lambda & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
Portanto, para cada matriz devemos: (i) calcular o determinante como polinômio em \lambda e (ii) fatorar esse polinômio em fatores lineares (quando possível). A resolução começa no Passo 2.]

Passo 2

Regra útil que vamos usar (aulas rápidas de teoria): o determinante de uma matriz em blocos diagonais é o produto dos determinantes dos blocos diagonais. Mais simples ainda: se a matriz é triangular ou tem zeros que isolam blocos, podemos multiplicar determinantes dos blocos. Também lembraremos a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2:
\text{se }B=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\text{ então }\det(B)=ad-bc.ã
Isto é tudo que precisamos para as matrizes dadas, porque todas possuem um bloco 2\times2 idêntico \begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[2pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix} e entradas diagonais isoladas.]

Passo 3

Calculemos primeiro o determinante do bloco 2\times2 que aparece nas três matrizes:
B=\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[2pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Usando a fórmula para 2\times2:
\det(B)=(1-\lambda)(1-\lambda)-1\cdot 1=(1-\lambda)^2-1.
Agora expandimos e simplificamos (1-\lambda)^2-1:
(1-\lambda)^2-1 = (1 -2\lambda +\lambda^2)-1 = \lambda^2-2\lambda.
Fatorando \lambda^2-2\lambda por fator comum \lambda:
\lambda^2-2\lambda=\lambda(\lambda-2).
Portanto
\det(B)=\lambda(\lambda-2).]

Passo 4

Agora vamos ao primeiro determinante \det(A_1). Observa-se que A_1 é uma matriz com o elemento 2-\lambda isolado na primeira linha/coluna e o bloco B ocupando as posições restantes; assim
\det(A_1)=(2-\lambda)\det(B).
Usando o resultado do Passo 3:
\det(A_1)=(2-\lambda)\,\lambda(\lambda-2).
Queremos uma fatoração limpa em fatores lineares. Note que 2-\lambda=-(\lambda-2). Substituindo:
\det(A_1)=(2-\lambda)\,\lambda(\lambda-2) = -\lambda(\lambda-2)^2.
Portanto uma forma totalmente fatorada é
\det(A_1)=-\lambda(\lambda-2)^2.
Se preferir, pode escrever também \lambda(2-\lambda)(\lambda-2), mas -\lambda(\lambda-2)^2 deixa claro a multiplicidade do zero em \lambda=2.

Passo 5

Agora o segundo determinante \det(A_2). A matriz A_2 é essencialmente diagonal em blocos: o primeiro elemento -1-\lambda isola-se, depois 2-\lambda isola-se, e por fim aparece o bloco B. Logo o determinante é o produto dos determinantes desses blocos:
\det(A_2)=(-1-\lambda)(2-\lambda)\det(B).
Usando \det(B)=\lambda(\lambda-2) do Passo 3:
\det(A_2)=(-1-\lambda)(2-\lambda)\lambda(\lambda-2).

Passo 6

Simplificamos e colocamos em fatores lineares e com sinais arrumados. Primeiro escrevemos -1-\lambda=-(1+\lambda). Assim
\det(A_2)=-(1+\lambda)(2-\lambda)\lambda(\lambda-2).
Note que (2-\lambda)(\lambda-2)=-(\lambda-2)^2. Substituindo:
\det(A_2)=-(1+\lambda)\lambda\big((2-\lambda)(\lambda-2)\big)=-(1+\lambda)\lambda\big(-(\lambda-2)^2\big).
Os sinais se cancelam:
\det(A_2)=(1+\lambda)\lambda(\lambda-2)^2.
Podemos reescrever (1+\lambda) como (\lambda+1), então:
\det(A_2)=\lambda(\lambda+1)(\lambda-2)^2.

Passo 7

Finalmente o terceiro determinante \det(A_3). A estrutura de A_3 é novamente blocos diagonais: primeiro -1-\lambda isolado, depois o bloco B, depois o escalar 2-\lambda isolado. Assim
\det(A_3)=(-1-\lambda)\det(B)(2-\lambda).
Usando \det(B)=\lambda(\lambda-2):
\det(A_3)=(-1-\lambda)\lambda(\lambda-2)(2-\lambda).

Passo 8

Simplificamos \det(A_3) do mesmo modo que em A_2. Escrevendo -1-\lambda=-(1+\lambda) e observando (\lambda-2)(2-\lambda)=-(\lambda-2)^2, temos
\det(A_3)=-(1+\lambda)\lambda\big((\lambda-2)(2-\lambda)\big)=-(1+\lambda)\lambda\big(-(\lambda-2)^2\big).
Os sinais se cancelam e obtemos
\det(A_3)=(1+\lambda)\lambda(\lambda-2)^2.
Ou, de forma mais comum:
\det(A_3)=\lambda(\lambda+1)(\lambda-2)^2.

Resposta

-\lambda(\lambda-2)^2
\lambda(\lambda+1)(\lambda-2)^2
\lambda(\lambda+1)(\lambda-2)^2

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