Sejam A=\left[\begin{array}{ccc}3 & 6 & -9 \\\\ 0 & 0 & -2 \\\\ -2 & 1 & 5\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}0 & 3 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 3 & 2 & 4\end{array}\right]. Calcule \operatorname{det} A e \operatorname{det} B. Calcule A B e \operatorname{det} A B. Verifique a propriedade \operatorname{det} A B=\operatorname{det} A \operatorname{det} B. Recalcule \operatorname{det} A e \operatorname{det} B usando o método de escalonamento. Recalcule \operatorname{det} B usando o método de cofatores. (resp.: \operatorname{det} A=30, \operatorname{det} B=5 )

Passo 1

O enunciado pede várias coisas, vou listar claramente o que é dado e o que é pedido, sem resolver ainda.
Dados:
A=\begin{pmatrix}3 & 6 & -9 \\[4pt] 0 & 0 & -2 \\[4pt] -2 & 1 & 5\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 3 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 2 \\[4pt] 3 & 2 & 4\end{pmatrix}.
Perguntas (tudo deve ser calculado):
  1. Calcular \det A e \det B.
  2. Calcular o produto AB (a matriz) e \det(AB).
  3. Verificar a propriedade \det(AB)=\det A\cdot\det B.
  4. Recalcular \det A e \det B usando o método de escalonamento (row reduction).
  5. Recalcular \det B usando o método de cofatores (expansão por linha/coluna).
Agora vou resolver passo a passo e ensinar os conceitos necessários enquanto aplico.]

Passo 2

Conceito rápido e útil antes de calcular: fórmula de expansão por cofatores (expansão por uma linha ou coluna) para matrizes 3\times3. Para uma matriz
M=\begin{pmatrix} m_{11}&m_{12}&m_{13}\\[4pt] m_{21}&m_{22}&m_{23}\\[4pt] m_{31}&m_{32}&m_{33} \end{pmatrix},
a expansão pela primeira linha é
\det M = m_{11}\,C_{11} + m_{12}\,C_{12} + m_{13}\,C_{13},
onde cada cofactor C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}) e M_{1j} é a submatriz (menor) que sobra ao eliminar a linha 1 e a coluna j. Em palavras: multiplica-se cada elemento da linha por (\pm) o determinante do menor que sobra, e soma-se com os sinais alternados. Vou usar isso para calcular \det A e \det B direto.]

Passo 3

Calcular \det A por expansão pela primeira linha.
Aplicando a fórmula com A:
\det A = 3\cdot C_{11} + 6\cdot C_{12} + (-9)\cdot C_{13}.
Agora cada cofactor:
C_{11}=(-1)^{1+1}\det\begin{pmatrix}0 & -2\\[4pt]1 & 5\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}0 & -2\\[4pt]1 & 5\end{pmatrix} =0\cdot5 - (-2)\cdot1 = 2.
C_{12}=(-1)^{1+2}\det\begin{pmatrix}0 & -2\\[4pt]-2 & 5\end{pmatrix} = -\det\begin{pmatrix}0 & -2\\[4pt]-2 & 5\end{pmatrix} = -\big(0\cdot5 - (-2)\cdot(-2)\big)= -(-4)=4\text{ (atenção ao sinal)}.çã
Observação detalhada do cálculo de C_{12}: o menor é \begin{pmatrix}0 & -2\\\\ -2 & 5\end{pmatrix} cujo determinante é 0\cdot5 -(-2)\cdot(-2)=0-4=-4. Como o sinal do cofactor é negativo, C_{12}=-(-4)=4.
C_{13}=(-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix} =0\cdot1 - 0\cdot(-2)=0.
Agora substituindo:
\det A = 3\cdot 2 + 6\cdot 4 +(-9)\cdot 0 = 6 + 24 + 0 = 30.]

Passo 4

Calcular \det B por expansão — vou usar a primeira linha (pode-se escolher qualquer linha/coluna; aqui a primeira linha tem um zero, útil).
Expansão pela primeira linha de B:
\det B = 0\cdot C_{11} + 3\cdot C_{12} + 1\cdot C_{13}.
Calcule os cofatores:
C_{11}=(-1)^{1+1}\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix} =1\cdot4 - 2\cdot2 = 4-4 = 0.
C_{12}=(-1)^{1+2}\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix} = -\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix} = -\big(1\cdot4 - 2\cdot3\big)= -(4-6)= -(-2)=2.
C_{13}=(-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix} =1\cdot2 - 1\cdot3 = 2-3 = -1.
Agora
\det B = 0\cdot 0 + 3\cdot 2 + 1\cdot(-1) = 6 - 1 = 5.]

Passo 5

Agora calculo o produto de matrizes AB. Lembrete rápido: o elemento (i,j) de AB é a soma dos produtos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B: (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^3 A_{ik}B_{kj}.
Faço cada entrada explicitamente:
Linha 1 de A é (3,6,-9).
  • (AB)_{11}=3\cdot0 + 6\cdot1 +(-9)\cdot3 = 0+6-27 = -21.
  • (AB)_{12}=3\cdot3 + 6\cdot1 +(-9)\cdot2 = 9+6-18 = -3.
  • (AB)_{13}=3\cdot1 + 6\cdot2 +(-9)\cdot4 = 3+12-36 = -21.
Linha 2 de A é (0,0,-2).
  • (AB)_{21}=0\cdot0 + 0\cdot1 +(-2)\cdot3 = -6.
  • (AB)_{22}=0\cdot3 + 0\cdot1 +(-2)\cdot2 = -4.
  • (AB)_{23}=0\cdot1 + 0\cdot2 +(-2)\cdot4 = -8.
Linha 3 de A é (-2,1,5).
  • (AB)_{31}=(-2)\cdot0 + 1\cdot1 + 5\cdot3 = 0+1+15 = 16.
  • (AB)_{32}=(-2)\cdot3 + 1\cdot1 + 5\cdot2 = -6+1+10 = 5.
  • (AB)_{33}=(-2)\cdot1 + 1\cdot2 + 5\cdot4 = -2+2+20 = 20.
Logo
AB=\begin{pmatrix} -21 & -3 & -21\\[4pt] -6 & -4 & -8\\[4pt] 16 & 5 & 20 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora calculo \det(AB) explicitamente (para verificar a propriedade). Vou usar expansão pela primeira linha do produto AB.
Denotando C=AB, pela primeira linha:
\det C = (-21)\cdot \det\begin{pmatrix}-4 & -8\\[4pt]5 & 20\end{pmatrix} -(-3)\cdot \det\begin{pmatrix}-6 & -8\\[4pt]16 & 20\end{pmatrix} +(-21)\cdot \det\begin{pmatrix}-6 & -4\\[4pt]16 & 5\end{pmatrix}.
Calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}-4 & -8\\[4pt]5 & 20\end{pmatrix} = (-4)\cdot20 - (-8)\cdot5 = -80 -(-40) = -40.
\det\begin{pmatrix}-6 & -8\\[4pt]16 & 20\end{pmatrix} = (-6)\cdot20 - (-8)\cdot16 = -120 -(-128) = 8.
\det\begin{pmatrix}-6 & -4\\[4pt]16 & 5\end{pmatrix} = (-6)\cdot5 - (-4)\cdot16 = -30 -(-64) = 34.
Substituindo:
\det C = (-21)(-40) -(-3)(8) +(-21)(34) = 840 +24 -714 = 150.]

Passo 7

Verificação da propriedade: já temos \det A = 30, \det B = 5 e \det(AB)=150. Como
\det A \cdot \det B = 30\cdot 5 = 150 = \det(AB),
a propriedade \det(AB)=\det A\cdot\det B está verificada neste exemplo.

Passo 8

Agora recálculo de \det A pelo método de escalonamento (row reduction), explicando a relação entre operações elementares e determinante:
Regras importantes de operações em linhas e efeito no determinante:
  • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
  • Multiplicar uma linha por constante k multiplica o determinante por k.
Começo com
A=\begin{pmatrix}3 & 6 & -9\\[4pt]0 & 0 & -2\\[4pt]-2 & 1 & 5\end{pmatrix}.
Quero triangularizar com operações que eu controle. Faço R_3\leftarrow R_3 + \tfrac{2}{3}R_1 (essa operação é “somar múltiplo de linha”, não altera o determinante):
R_3 = (-2,1,5) + \tfrac{2}{3}(3,6,-9) = (0,5,-1).
Fica
\begin{pmatrix}3 & 6 & -9\\[4pt]0 & 0 & -2\\[4pt]0 & 5 & -1\end{pmatrix}.
Agora troco R_2 e R_3 para ter pivô não nulo na posição (2,2). Essa troca multiplica o determinante por -1:
\begin{pmatrix}3 & 6 & -9\\[4pt]0 & 5 & -1\\[4pt]0 & 0 & -2\end{pmatrix}.
Agora a matriz está triangular superior; o determinante da triangular é o produto dos elementos da diagonal. Denotando a matriz final por T, temos
\det T = 3\cdot 5\cdot (-2) = -30.
Lembre que fiz apenas uma troca de linhas (multiplicou por -1) e uma soma de linha (não alterou). Se T é o resultado dessas operações, sua relação com \det A é \det T = -\det A. Assim
\det A = -\det T = -(-30) = 30,
confirmando o valor obtido anteriormente.]

Passo 9

Recalculo de \det B pelo método de escalonamento, com explicação das operações usadas.
Começo com
B=\begin{pmatrix}0 & 3 & 1\\[4pt]1 & 1 & 2\\[4pt]3 & 2 & 4\end{pmatrix}.
Para evitar pivô zero na posição (1,1), troco R_1 e R_2. Essa troca multiplica o determinante por -1:
\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\[4pt]0 & 3 & 1\\[4pt]3 & 2 & 4\end{pmatrix}.
Elimino o elemento 3 em (3,1) usando R_3\leftarrow R_3 - 3R_1 (operação que não altera o determinante):
R_3 = (3,2,4) - 3(1,1,2) = (0,-1,-2).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\[4pt]0 & 3 & 1\\[4pt]0 & -1 & -2\end{pmatrix}.
Elimino o -1 em (3,2) somando \tfrac{1}{3}R_2 a R_3: R_3\leftarrow R_3 + \tfrac{1}{3}R_2. Essa é soma de múltiplo de linha, não altera o determinante:
R_3 = (0,-1,-2) + \tfrac{1}{3}(0,3,1) = (0,0,-\tfrac{5}{3}).
Agora a matriz triangular é
\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\[4pt]0 & 3 & 1\\[4pt]0 & 0 & -\tfrac{5}{3}\end{pmatrix}.
Produto da diagonal:
\det T = 1\cdot 3\cdot \left(-\tfrac{5}{3}\right) = -5.
Lembre que fiz uma troca de linhas inicialmente, então \det T = -\det B. Portanto
\det B = -\det T = -(-5) = 5,
conforme antes.]

Passo 10

Recalculo de \det B usando o método de cofatores (expansão por coluna nesta vez), para mostrar outro caminho. Vou expandir pela primeira coluna; isso é útil quando há zeros ou valores pequenos.
Expansão pela primeira coluna de B:
\det B = \sum_{i=1}^3 (-1)^{i+1} b_{i1}\det(B_{i1}).
Os termos:
b_{11}=0 \Rightarrow \text{contribui }0.
b_{21}=1\Rightarrow \text{contribuição }(-1)^{2+1}\cdot1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix} = -\big(3\cdot4 - 1\cdot2\big) = -(12-2) = -10.çã
b_{31}=3\Rightarrow \text{contribuição }(-1)^{3+1}\cdot3\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} = +3\cdot(3\cdot2 - 1\cdot1) = 3\cdot(6-1) = 15.çã
Somando:
\det B = 0 -10 + 15 = 5.
Confere com o resultado anterior.]

Resposta

\det A = 30
\det B = 5
AB = \begin{pmatrix}-21 & -3 & -21\\[4pt]-6 & -4 & -8\\[4pt]16 & 5 & 20\end{pmatrix}
\det(AB) = 150]

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