Sejam A=\left[\begin{array}{ccc}3 & 6 & -9 \\\\ 0 & 0 & -2 \\\\ -2 & 1 & 5\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}0 & 3 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 3 & 2 & 4\end{array}\right]. Calcule \operatorname{det} A e \operatorname{det} B. Calcule A B e \operatorname{det} A B. Verifique a propriedade \operatorname{det} A B=\operatorname{det} A \operatorname{det} B. Recalcule \operatorname{det} A e \operatorname{det} B usando o método de escalonamento. Recalcule \operatorname{det} B usando o método de cofatores. (resp.: \operatorname{det} A=30, \operatorname{det} B=5 )
Passo 1
O enunciado pede várias coisas, vou listar claramente o que é dado e o que é pedido, sem resolver ainda.
\det M = m_{11}\,C_{11} + m_{12}\,C_{12} + m_{13}\,C_{13},
onde cada cofactor C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}) e M_{1j} é a submatriz (menor) que sobra ao eliminar a linha 1 e a coluna j. Em palavras: multiplica-se cada elemento da linha por (\pm) o determinante do menor que sobra, e soma-se com os sinais alternados. Vou usar isso para calcular \det A e \det B direto.]
Observação detalhada do cálculo de C_{12}: o menor é \begin{pmatrix}0 & -2\\\\ -2 & 5\end{pmatrix} cujo determinante é 0\cdot5 -(-2)\cdot(-2)=0-4=-4. Como o sinal do cofactor é negativo, C_{12}=-(-4)=4.
Agora calculo o produto de matrizes AB. Lembrete rápido: o elemento (i,j) de AB é a soma dos produtos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B: (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^3 A_{ik}B_{kj}.
Quero triangularizar com operações que eu controle. Faço R_3\leftarrow R_3 + \tfrac{2}{3}R_1 (essa operação é “somar múltiplo de linha”, não altera o determinante):
Agora a matriz está triangular superior; o determinante da triangular é o produto dos elementos da diagonal. Denotando a matriz final por T, temos
\det T = 3\cdot 5\cdot (-2) = -30.
Lembre que fiz apenas uma troca de linhas (multiplicou por -1) e uma soma de linha (não alterou). Se T é o resultado dessas operações, sua relação com \det A é \det T = -\det A. Assim
\det A = -\det T = -(-30) = 30,
confirmando o valor obtido anteriormente.]
Passo 9
Recalculo de \det B pelo método de escalonamento, com explicação das operações usadas.
\det T = 1\cdot 3\cdot \left(-\tfrac{5}{3}\right) = -5.
Lembre que fiz uma troca de linhas inicialmente, então \det T = -\det B. Portanto
\det B = -\det T = -(-5) = 5,
conforme antes.]
Passo 10
Recalculo de \det B usando o método de cofatores (expansão por coluna nesta vez), para mostrar outro caminho. Vou expandir pela primeira coluna; isso é útil quando há zeros ou valores pequenos.
Expansão pela primeira coluna de B:
\det B = \sum_{i=1}^3 (-1)^{i+1} b_{i1}\det(B_{i1}).