Calcule det \left[\begin{array}{llll}2 & 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3\end{array}\right] usando o método de escalonamento e de cofatores. (resp.: \operatorname{det} C=6 )

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz C:
C=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
As informações relevantes são exatamente os elementos dessa matriz e a solicitação: calcular \det C. Vou apresentar duas maneiras pedidas: (i) pelo método de escalonamento (eliminação) e (ii) pela expansão por cofatores.]

Passo 2

Conceitos úteis (rapidinho, para não esquecer durante a prova):
  • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1. Em notação: se A' é obtida trocando R_i e R_j de A, então \det A' = -\det A.
  • Somar a um linha um múltiplo de outra linha NÃO altera o determinante. Ou seja, R_i \leftarrow R_i + k R_j não muda \det.
  • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
    Essas regras são o que vou usar no escalonamento; guarde-as como ferramentas de caixa de ferramentas.

Passo 3

Escalonamento: primeiro passo prático — quero um pivô simples na primeira coluna. Vou trocar R_1 e R_2 para obter pivô 1 na posição (1,1). A operação é
R_1 \leftrightarrow R_2,
o que implica \det(\text{matriz após troca}) = -\det Có.
A matriz após a troca fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Continuo eliminando abaixo do pivô (1,1). Uso operações do tipo R_i \leftarrow R_i - k R_1 (que não mudam o determinante):
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 R_2 = (0,1,1,-1).
    As outras linhas já têm zero na coluna 1, continuam iguais. A matriz vira
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora uso o pivô (2,2)=1 para eliminar abaixo:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2 R_3 = (0,0,-1,2).
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_2 R_4 = (0,0,1,4).
    Ambas são operações do tipo somar múltiplo de outra linha, logo determinante inalterado. A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Elimino o elemento (4,3) usando o pivô (3,3)=-1:
  • Faço R_4 \leftarrow R_4 + R_3 (pois 1 + (-1)=0), resultado R_4=(0,0,0,6).
    Mais uma vez, operação que não altera o determinante. A matriz triangular superior final é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}.
Determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Portanto o determinante desta matriz triangular é
1\cdot 1\cdot (-1)\cdot 6 = -6.
Lembre que esta é a matriz obtida depois da troca R_1\leftrightarrow R_2, e por essa troca temos \det(\text{matriz após troca}) = -\det Có. Assim obtivemos a relação
-\det C = -6.
(A partir daqui conclui-se \det C = 6.)]

Passo 7

Agora calculo \det C pelo método de cofatores para praticar e conferir. Expando ao longo da primeira coluna, que tem dois zeros (isso simplifica muito). Regra de expansão por cofatores:
\det C=\sum_{i=1}^{4} (-1)^{i+1} c_{i1}\det(M_{i1}),
onde M_{i1} é a menor obtida eliminando a linha i e a coluna 1.
Como c_{31}=0 e c_{41}=0, só restam os termos i=1 e i=2:
\det C = (+1)\cdot 2\cdot \det(M_{11}) \;+\; (-1)\cdot 1\cdot \det(M_{21}).
Portanto
\det C = 2\det(M_{11}) - \det(M_{21}).

Passo 8

Calculo as menores 3\times3.
Menor M_{11} (removendo linha 1 e coluna 1) é
M_{11}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Para determinante de 3\times3 uso a fórmula (regra de Sarrus / expansão): para
\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i\end{pmatrix},
\det = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Aplicando em M_{11} (com a=0,b=1,c=1,d=2,e=1,f=0,g=1,h=2,i=3):
\det(M_{11}) = 0\cdot(1\cdot3-0\cdot2) - 1\cdot(2\cdot3-0\cdot1) + 1\cdot(2\cdot2-1\cdot1).
Calculando cada parte:
0 - 1\cdot(6-0) + 1\cdot(4-1) = -6 + 3 = -3.
Menor M_{21} (removendo linha 2 e coluna 1) é
M_{21}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Agora (com a=1,b=3,c=1,d=2,e=1,f=0,g=1,h=2,i=3):
\det(M_{21}) = 1\cdot(1\cdot3-0\cdot2) - 3\cdot(2\cdot3-0\cdot1) + 1\cdot(2\cdot2-1\cdot1).
Calculando:
\det(M_{21}) = 1\cdot 3 - 3\cdot 6 + 1\cdot 3 = 3 - 18 + 3 = -12.
Substituindo na fórmula da expansão:
\det C = 2\cdot(-3) - (-12) = -6 + 12 = 6.]

Resposta

\det C = 6

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