As informações relevantes são exatamente os elementos dessa matriz e a solicitação: calcular \det C. Vou apresentar duas maneiras pedidas: (i) pelo método de escalonamento (eliminação) e (ii) pela expansão por cofatores.]
Passo 2
Conceitos úteis (rapidinho, para não esquecer durante a prova):
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1. Em notação: se A' é obtida trocando R_i e R_j de A, então \det A' = -\det A.
Somar a um linha um múltiplo de outra linha NÃO altera o determinante. Ou seja, R_i \leftarrow R_i + k R_j não muda \det.
Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
Essas regras são o que vou usar no escalonamento; guarde-as como ferramentas de caixa de ferramentas.
Passo 3
Escalonamento: primeiro passo prático — quero um pivô simples na primeira coluna. Vou trocar R_1 e R_2 para obter pivô 1 na posição (1,1). A operação é
R_1 \leftrightarrow R_2,
o que implica \det(\text{matriz após troca}) = -\det Có.
Faço R_4 \leftarrow R_4 + R_3 (pois 1 + (-1)=0), resultado R_4=(0,0,0,6).
Mais uma vez, operação que não altera o determinante. A matriz triangular superior final é
Determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Portanto o determinante desta matriz triangular é
1\cdot 1\cdot (-1)\cdot 6 = -6.
Lembre que esta é a matriz obtida depois da troca R_1\leftrightarrow R_2, e por essa troca temos \det(\text{matriz após troca}) = -\det Có. Assim obtivemos a relação
-\det C = -6.
(A partir daqui conclui-se \det C = 6.)]
Passo 7
Agora calculo \det C pelo método de cofatores para praticar e conferir. Expando ao longo da primeira coluna, que tem dois zeros (isso simplifica muito). Regra de expansão por cofatores: