Determinar:
14)
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Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da função
Informações dadas:
- A variável
aproxima-se de . - O numerador é
e o denominador é .
O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Lembrete importantíssimo que vamos usar (e preciso te explicar direitinho): a base de muitos limites trigonométricos é a identidade
O que isso diz, em palavras simples, é: quando o ângulo
fica muito pequeno (próximo de zero),
se comporta aproximadamente como
. Esse resultado é padrão e fundamental — decorre da análise geométrica ou de séries, mas aqui vamos usá-lo como instrumento básico.
Passo 3
Para aproveitar a identidade acima, faz sentido mudar a variável de forma que o denominador vire a nova variável que tende a zero. Defino
Quando
, temos
. Além disso,
Passo 4
Reescrevo a expressão do limite em função de
. O numerador fica
Usamos a identidade trigonométrica
válida para qualquer
. Aplicando com
obtemos
Passo 5
Substituindo no quociente, o limite torna-se
Agora fatoro
dentro do quociente para criar a forma
:
Assim
Passo 6
Agora aplico o limite conhecido
com
(quando
também
). Então
Portanto
Passo 7
Checagem rápida (opcional, só pra reforçar a intuição): a expressão original é igual à derivada de
avaliada em
, porque
Aqui
e
, então o quociente é exatamente
. A derivada é
, logo
, que confirma o resultado.