Determinar:
14) \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{sen}(2 x)}{x-\frac{\pi}{2}}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a \dfrac{\pi}{2} da função
\frac{\sin(2x)}{x-\frac{\pi}{2}}.
Informações dadas:
  • A variável x aproxima-se de \dfrac{\pi}{2}.
  • O numerador é \sin(2x) e o denominador é x-\dfrac{\pi}{2}.
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Lembrete importantíssimo que vamos usar (e preciso te explicar direitinho): a base de muitos limites trigonométricos é a identidade
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
O que isso diz, em palavras simples, é: quando o ângulo t fica muito pequeno (próximo de zero), \sin t se comporta aproximadamente como t. Esse resultado é padrão e fundamental — decorre da análise geométrica ou de séries, mas aqui vamos usá-lo como instrumento básico.

Passo 3

Para aproveitar a identidade acima, faz sentido mudar a variável de forma que o denominador vire a nova variável que tende a zero. Defino
h = x - \frac{\pi}{2}.
Quando x \to \dfrac{\pi}{2}, temos h \to 0. Além disso,
x = \frac{\pi}{2} + h.

Passo 4

Reescrevo a expressão do limite em função de h. O numerador fica
\sin(2x)=\sin\!\Big(2\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)\Big)=\sin(\pi+2h).
Usamos a identidade trigonométrica
\sin(\pi + \theta) = -\sin(\theta),
válida para qualquer \theta. Aplicando com \theta=2h obtemos
\sin(\pi+2h) = -\sin(2h).

Passo 5

Substituindo no quociente, o limite torna-se
\lim_{h\to 0}\frac{-\sin(2h)}{h} = -\lim_{h\to 0}\frac{\sin(2h)}{h}.
Agora fatoro 2 dentro do quociente para criar a forma \dfrac{\sin(\text{algo})}{\text{algo}}:
\frac{\sin(2h)}{h} = 2\cdot\frac{\sin(2h)}{2h}.
Assim
-\frac{\sin(2h)}{h} = -2\cdot\frac{\sin(2h)}{2h}.

Passo 6

Agora aplico o limite conhecido \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1 com t=2h (quando h\to0 também t\to0). Então
\lim_{h\to0}\frac{\sin(2h)}{2h}=1.
Portanto
\lim_{h\to0}\left(-2\cdot\frac{\sin(2h)}{2h}\right) = -2\cdot 1 = -2.

Passo 7

Checagem rápida (opcional, só pra reforçar a intuição): a expressão original é igual à derivada de \sin(2x) avaliada em x=\dfrac{\pi}{2}, porque
\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a).
Aqui f(x)=\sin(2x) e f\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=\sin(\pi)=0, então o quociente é exatamente \dfrac{f(x)-f(\pi/2)}{x-\pi/2}. A derivada é f'(x)=2\cos(2x), logo f'(\tfrac{\pi}{2})=2\cos(\pi)=2\cdot(-1)=-2, que confirma o resultado.

Resposta

-2

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