Determinar:
15)
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Passo 1
O enunciado dá o limite
e pede o valor numérico desse limite quando
se aproxima de
.
Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - A aproximação é quando
.
Passo 2
Observação sobre a forma do limite e a ideia de solução:
- Ao substituir
diretamente, tem-se e o denominador também é . Então o limite é do tipo (indeterminado). - Um método simples e padrão para esses casos é fazer uma mudança de variável que transforme o numerador em uma expressão da forma
, porque a seguinte propriedade básica é conhecida e muito útil:
Essa propriedade pode ser aceita como uma regra padrão em provas (é demonstrável por geometria ou séries) e será usada aqui.
Passo 3
Fazer a mudança de variável adequada. Defina
Quando
temos
. Vamos reescrever numerador e denominador em função de
.
Passo 4
Reescrever o numerador usando uma identidade trigonométrica:
Usando a identidade
, obtemos
Passo 5
Reescrever o denominador em termos de
. Da definição
segue
Agora substituímos numerador e denominador na fração original.
Passo 6
Substituindo, a expressão dentro do limite fica
Como
quando
, aplicamos o limite padrão
. Portanto
Passo 7
Comentário didático alternativo (útil para a prova): esse mesmo limite é a definição do derivada de
em
. A derivada é
avaliando em
dá
, que coincide com o resultado obtido acima. Isso ajuda a reconhecer rapidamente que limites do tipo
(ou variantes) costumam dar
.