Determinar:
15) \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{3}} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{x-\frac{\pi}{3}}\

Passo 1

O enunciado dá o limite
\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{3}} \frac{\operatorname{sen}(3x)}{x-\frac{\pi}{3}}
e pede o valor numérico desse limite quando x se aproxima de \dfrac{\pi}{3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é \operatorname{sen}(3x).
  • O denominador é x-\dfrac{\pi}{3}.
  • A aproximação é quando x \to \dfrac{\pi}{3}.

Passo 2

Observação sobre a forma do limite e a ideia de solução:
  • Ao substituir x=\dfrac{\pi}{3} diretamente, tem-se \operatorname{sen}(3\cdot\dfrac{\pi}{3})=\operatorname{sen}(\pi)=0 e o denominador também é 0. Então o limite é do tipo \dfrac{0}{0} (indeterminado).
  • Um método simples e padrão para esses casos é fazer uma mudança de variável que transforme o numerador em uma expressão da forma \dfrac{\sin t}{t}, porque a seguinte propriedade básica é conhecida e muito útil:
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Essa propriedade pode ser aceita como uma regra padrão em provas (é demonstrável por geometria ou séries) e será usada aqui.

Passo 3

Fazer a mudança de variável adequada. Defina
u = 3x - \pi.
Quando x \to \dfrac{\pi}{3} temos u \to 0. Vamos reescrever numerador e denominador em função de u.

Passo 4

Reescrever o numerador usando uma identidade trigonométrica:
\operatorname{sen}(3x) = \operatorname{sen}\bigl(u+\pi\bigr).
Usando a identidade \sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha, obtemos
\operatorname{sen}(3x)=\operatorname{sen}(u+\pi)=-\operatorname{sen}(u).

Passo 5

Reescrever o denominador em termos de u. Da definição u=3x-\pi segue
x-\frac{\pi}{3}=\frac{u}{3}.
Agora substituímos numerador e denominador na fração original.

Passo 6

Substituindo, a expressão dentro do limite fica
\frac{\operatorname{sen}(3x)}{x-\frac{\pi}{3}} = \frac{-\operatorname{sen}(u)}{u/3} = -3\cdot\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}.
Como u\to 0 quando x\to \dfrac{\pi}{3}, aplicamos o limite padrão \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1. Portanto
\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\operatorname{sen}(3x)}{x-\frac{\pi}{3}} = -3\cdot\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u} = -3\cdot 1.

Passo 7

Comentário didático alternativo (útil para a prova): esse mesmo limite é a definição do derivada de \operatorname{sen}(3x) em x=\dfrac{\pi}{3}. A derivada é
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(3x)=3\cos(3x),
avaliando em x=\dfrac{\pi}{3} 3\cos(\pi)=3\cdot(-1)=-3, que coincide com o resultado obtido acima. Isso ajuda a reconhecer rapidamente que limites do tipo \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} (ou variantes) costumam dar f'(a).

Resposta

-3

Exercícios relacionados