Determinar:
21)
21)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- A expressão envolve
, que oscila muito quando . - A função não está definida em
, mas o limite é pedido quando se aproxima de . - Sabe-se que, para qualquer argumento
, tem-se . Essa desigualdade será útil.
Passo 2
Estratégia: usar o Teorema do Confronto (ou “Teorema do Squeeze”), que é ideal quando uma função está “presa” entre duas outras que têm o mesmo limite.
Enunciado do Teorema do Confronto (forma usada aqui):
sejam funções definidas num entorno de
(exceto possivelmente em
) tais que, para
próximo de
,
sejam
e
então
Também é útil a forma com valor absoluto: se
e
, então
.
Passo 3
Aplicar a desigualdade conhecida para o seno. Para todo
vale
Multiplicando essa desigualdade por
(sempre não-negativo, então não inverte a desigualdade) obtemos
Note que
tem sinal igual ao de
; para trabalhar com
sem ambiguidade de sinal, observe que
vale para todo
(essa é a desigualdade que vai “espremer” nossa função).
Passo 4
Calcular os limites das funções limites:
porque
tende a
quando
.
Passo 5
Pelo Teorema do Confronto, como
e ambos os limites das funções extremas são
, segue que
Intuição: embora
oscile entre
e
infinitamente rápido ao aproximar
, o fator
tende a
e “anula” essas oscilações, fazendo o produto ir para zero.
Passo 6
Dica prática para a prova: sempre que tiver algo do tipo
(função oscilante e limitada), tente usar a desigualdade
e aplicar o Teorema do Confronto. Ex.:
segue do mesmo raciocínio.