Determinar:
21) \lim _{x \rightarrow 0} x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão envolve \sin\!\left(\frac{1}{x}\right), que oscila muito quando x\to 0.
  • A função não está definida em x=0, mas o limite é pedido quando x se aproxima de 0.
  • Sabe-se que, para qualquer argumento t, tem-se -1\le \sin t\le 1. Essa desigualdade será útil.

Passo 2

Estratégia: usar o Teorema do Confronto (ou “Teorema do Squeeze”), que é ideal quando uma função está “presa” entre duas outras que têm o mesmo limite.
Enunciado do Teorema do Confronto (forma usada aqui):
sejam f,g,h funções definidas num entorno de a (exceto possivelmente em a) tais que, para x próximo de a,
g(x)\le f(x)\le h(x)
e
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então
\lim_{x\to a} f(x)=L.
Também é útil a forma com valor absoluto: se |f(x)|\le \varphi(x) e \lim \varphi(x)=0, então \lim f(x)=0.

Passo 3

Aplicar a desigualdade conhecida para o seno. Para todo x\neq 0 vale
-1 \le \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1.
Multiplicando essa desigualdade por |x| (sempre não-negativo, então não inverte a desigualdade) obtemos
-|x| \le |x|\,\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le |x|.
Note que |x|\,\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) tem sinal igual ao de \sin\!\left(\frac{1}{x}\right); para trabalhar com x\sin(1/x) sem ambiguidade de sinal, observe que
-|x| \le x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le |x|
vale para todo x (essa é a desigualdade que vai “espremer” nossa função).

Passo 4

Calcular os limites das funções limites:
\lim_{x\to 0} -|x| = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0} |x| = 0,
porque |x| tende a 0 quando x\to 0.

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, como
-|x| \le x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le |x|
e ambos os limites das funções extremas são 0, segue que
\lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) = 0.
Intuição: embora \sin(1/x) oscile entre -1 e 1 infinitamente rápido ao aproximar 0, o fator x tende a 0 e “anula” essas oscilações, fazendo o produto ir para zero.

Passo 6

Dica prática para a prova: sempre que tiver algo do tipo x\cdot (função oscilante e limitada), tente usar a desigualdade |x\cdot(\text{função limitada})|\le |x|çã e aplicar o Teorema do Confronto. Ex.: \lim_{x\to 0} x\cos(1/x)=0 segue do mesmo raciocínio.

Resposta

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