Determinar a aceleração do centro de massa de (a) um disco maciço uniforme e (b) um aro uniforme que rolam por um plano inclinado de inclinação
. © Qual o coeficiente de atrito de rolamento mínimo necessário para manter o movimento de rolamento puro do disco e do aro?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que a gente precisa lembrar pra resolver.
Enunciado:
a) Calcular a aceleração do centro de massa de um disco maciço que rola sem deslizar num plano inclinado de ângulo .
b) Fazer a mesma conta para um aro (cilindro fino) que rola do mesmo jeito.
c) Descobrir o coeficiente mínimo de atrito estático que garante “rolamento puro” (ou seja, sem escorregar) nos dois casos.
Enunciado:
a) Calcular a aceleração do centro de massa de um disco maciço que rola sem deslizar num plano inclinado de ângulo
b) Fazer a mesma conta para um aro (cilindro fino) que rola do mesmo jeito.
c) Descobrir o coeficiente mínimo de atrito estático
Conteúdo envolvido:
- Dinâmica de translação:
. - Dinâmica de rotação: torque do atrito
. - Condição de rolamento sem deslizamento:
. - Momentos de inércia:
– Disco maciço:.
– Aro fino:.
Passo 2
Escrever as equações gerais (válidas pra disco e pra aro):
- Translação:
2) Rotação (em torno do centro):
- Como não desliza, a aceleração linear e angular se relacionam por
Substituindo (3) em (2):
$$F_{\rm atrito};R = I,\frac{a}{R}\quad\Longrightarrow\quad
F_{\rm atrito} = \frac{I}{R^2};a.$$
Agora vamos colocar isso na equação de translação.
Agora vamos colocar isso na equação de translação.
Passo 3
Caso (a): Disco maciço (
).
Da equação de translação:
Da equação de translação:
Substitui
$$mg\sin\theta - \frac12,m,a = m,a
\quad\Longrightarrow\quad
mg\sin\theta = m,a + \tfrac12,m,a = \tfrac32,m,a.
a_{\rm disco} = \frac{g\sin\theta}{3/2} = \frac23,g\sin\theta.$$
Passo 4
Caso (b): Aro fino (
).
Mesma história:
Mesma história:
$$mg\sin\theta - \frac{I}{R^2},a = m,a,
\quad I/R^2 = m,$$
Passo 5
Agora o coeficiente mínimo de atrito para não escorregar.
A força de atrito que age pra rolar é
A força de atrito que age pra rolar é
e ela não pode ultrapassar
$$F_{\rm atrito} \le \mu,mg\cos\theta
\quad\Longrightarrow\quad
\mu \ge \frac{F_{\rm atrito}}{mg\cos\theta}
\mu \ge \frac{F_{\rm atrito}}{mg\cos\theta}
= \frac{(I/R^2),a}{m,g\cos\theta}.
\beta = \frac{I}{mR^2},\quad
a = \frac{g\sin\theta}{1+\beta},
\mu_{\min}
= \frac{\beta;g\sin\theta/(1+\beta)}{g\cos\theta}
= \frac{\beta}{1+\beta},\tan\theta.$$
Para cada caso:
- Disco:
- Aro:
Resposta
a)
b)
c) Coeficiente mínimo de atrito estático para rolamento puro:
Disco:
Aro:
b)
c) Coeficiente mínimo de atrito estático para rolamento puro:
Disco:
Aro: