Determinar a aceleração do centro de massa de (a) um disco maciço uniforme e (b) um aro uniforme que rolam por um plano inclinado de inclinação theta. © Qual o coeficiente de atrito de rolamento mínimo necessário para manter o movimento de rolamento puro do disco e do aro?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que a gente precisa lembrar pra resolver.
Enunciado:
a) Calcular a aceleração do centro de massa de um disco maciço que rola sem deslizar num plano inclinado de ângulo theta.
b) Fazer a mesma conta para um aro (cilindro fino) que rola do mesmo jeito.
c) Descobrir o coeficiente mínimo de atrito estático mu que garante “rolamento puro” (ou seja, sem escorregar) nos dois casos.
Conteúdo envolvido:
  • Dinâmica de translação: mgsintheta - Frm atrito=m,a.
  • Dinâmica de rotação: torque do atrito Frm atritoR = I,alpha.
  • Condição de rolamento sem deslizamento: a = alpha,R.
  • Momentos de inércia:
    – Disco maciço: Irm disco = tfrac12,mR^2.
    – Aro fino: Irm aro = 1cdot mR^2.

Passo 2

Escrever as equações gerais (válidas pra disco e pra aro):
  1. Translação:
mgsintheta - Frm atrito = m,a
2) Rotação (em torno do centro):
Frm atrito;R = I,alpha
  1. Como não desliza, a aceleração linear e angular se relacionam por
a = alpha,RLongrightarrow alpha = aR
Substituindo (3) em (2):
$$F_{\rm atrito};R = I,\frac{a}{R}\quad\Longrightarrow\quad
F_{\rm atrito} = \frac{I}{R^2};a.$$
Agora vamos colocar isso na equação de translação.

Passo 3

Caso (a): Disco maciço ( I=tfrac12,mR^2).
Da equação de translação:
mgsintheta - IR^2,a = m,a
Substitui I/R^2 = tfrac12,m:
$$mg\sin\theta - \frac12,m,a = m,a
\quad\Longrightarrow\quad
mg\sin\theta = m,a + \tfrac12,m,a = \tfrac32,m,a. mgsintheta - 12,m,a = m,a Longrightarrow mgsintheta = m,a + tfrac12,m,a = tfrac32,m,aa_{\rm disco} = \frac{g\sin\theta}{3/2} = \frac23,g\sin\theta.$$

Passo 4

Caso (b): Aro fino ( I=mR^2).
Mesma história:
$$mg\sin\theta - \frac{I}{R^2},a = m,a,
\quad I/R^2 = m,$$
mgsintheta - IR^2,a = m,a, I/R^2 = m,
mgsintheta - m,a = m,a Longrightarrow mgsintheta = 2,m,a,

Passo 5

Agora o coeficiente mínimo de atrito para não escorregar.
A força de atrito que age pra rolar é
Frm atrito = IR^2,a,
e ela não pode ultrapassar mu,N com N = mgcostheta:
$$F_{\rm atrito} \le \mu,mg\cos\theta
\quad\Longrightarrow\quad
\mu \ge \frac{F_{\rm atrito}}{mg\cos\theta}
= \frac{(I/R^2),a}{m,g\cos\theta}. Frm atrito <= mu,mgcostheta Longrightarrow mu >= Frm atritomgcostheta = (I/R^2),am,gcostheta\beta = \frac{I}{mR^2},\quad
a = \frac{g\sin\theta}{1+\beta}, a = dfracgsintheta1 + I/(mR^2)ã\mu_{\min}
= \frac{\beta;g\sin\theta/(1+\beta)}{g\cos\theta}
= \frac{\beta}{1+\beta},\tan\theta.$$
Para cada caso:
  • Disco: beta = ImR^2, a = gsintheta1+beta,
  • Aro: mumin = beta;gsintheta/(1+beta)gcostheta = beta1+beta,tantheta

Resposta

a) arm disco = 23,gsintheta
b) arm aro = 12,gsintheta
c) Coeficiente mínimo de atrito estático para rolamento puro:
Disco: mumin=tfrac13,tantheta
Aro: mumin=tfrac12,tantheta

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