Uma partícula de massa m executa um movimento circular, descrito pelo vetor posição
r=R[cos theta(t) i+sen theta(t) j],
em que theta(t)=theta0+omega0 t+alpha t^2 / 2, com R, theta0, omega0 e alpha constantes positivas. (a) Determine os vetores velocidade, v, e aceleração, a; (b) mostre que v é perpendicular ao vetor r; © calcule r times p, o produto vetorial entre os vetores posição e momento linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula de massa $ m $ que está se movendo em um círculo com raio $ R $. A posição dessa partícula é dada por:
m
onde o ângulo $ \theta(t) $ varia com o tempo conforme:
R
Temos que resolver três partes:
(a) Encontrar os vetores velocidade $ \mathbf{v} $ e aceleração $ \mathbf{a} $;
(b) Mostrar que $ \mathbf{v} $ é perpendicular a $ \mathbf{r} $;
© Calcular o produto vetorial $ \mathbf{r} \times \mathbf{p} $, onde $ \mathbf{p} $ é o momento linear.
Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial para derivar a posição e obter a velocidade e aceleração, além de conhecimentos sobre vetores e produto vetorial.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a), encontrando os vetores velocidade $ \mathbf{v} $ e aceleração $ \mathbf{a} $.
Primeiro, lembrando que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar $ \mathbf{r} $ em relação a $ t $:
v
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar as funções trigonométricas.
Sabemos que:
a
Substituindo isso na expressão da velocidade:
r
Agora, para encontrar a aceleração $ \mathbf{a} $, que é a derivada da velocidade:
t
Vamos derivar $ \mathbf{v} $:
v = drdt = R[-sin theta(t) cdot dthetadt i + cos theta(t) cdot dthetadt j]
Simplificando:
dthetadt = omega0 + alpha t

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos mostrar que o vetor velocidade $ \mathbf{v} $ é perpendicular ao vetor posição $ \mathbf{r} $.
Para verificar a perpendicularidade entre dois vetores, podemos calcular o produto escalar entre eles. Se o produto escalar for zero, os vetores são perpendiculares.
Vamos calcular $ \mathbf{r} \cdot \mathbf{v} $:
v
Multiplicando os componentes:
r
Simplificando:
r cdot v
Como o produto escalar deu zero, concluímos que $ \mathbf{v} $ é perpendicular a $ \mathbf{r} $.

Passo 4

Finalmente, vamos resolver a parte ©, calculando o produto vetorial $ \mathbf{r} \times \mathbf{p} $, onde $ \mathbf{p} $ é o momento linear dado por $ \mathbf{p} = m\mathbf{v} $.
Primeiro, vamos expressar $ \mathbf{p} $:
r times p
Agora, calculando o produto vetorial $ \mathbf{r} \times \mathbf{p} $:
p
Usando as propriedades do produto vetorial, sabemos que $ \mathbf{i} \times \mathbf{i} = 0 $, $ \mathbf{j} \times \mathbf{j} = 0 $, e $ \mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k} $:
p = mv
Simplificando:
p
p = mv = mR(omega0 + alpha t)[-sin theta(t) i + cos theta(t) j]

Resposta

(a) A velocidade é $ \mathbf{v} = R(\omega_{0} + \alpha t)[-\sin \theta(t) \mathbf{i} + \cos \theta(t) \mathbf{j}] $ e a aceleração é $ \mathbf{a} = R\alpha[-\sin \theta(t) \mathbf{i} + \cos \theta(t) \mathbf{j}] - R(\omega_{0} + \alpha t)^2[\cos \theta(t) \mathbf{i} + \sin \theta(t) \mathbf{j}] $.
(b) O vetor velocidade $ \mathbf{v} $ é perpendicular ao vetor posição $ \mathbf{r} $ porque o produto escalar $ \mathbf{r} \cdot \mathbf{v} = 0 $.
© O produto vetorial $ \mathbf{r} \times \mathbf{p} = mR^2 (\omega_{0} + \alpha t)(\cos^2 \theta(t) - \sin^2 \theta(t)) \mathbf{k} $.

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