Uma partícula de massa
executa um movimento circular, descrito pelo vetor posição
em que
, com
,
e
constantes positivas. (a) Determine os vetores velocidade,
, e aceleração,
; (b) mostre que
é perpendicular ao vetor
; © calcule
, o produto vetorial entre os vetores posição e momento linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula de massa $ m $ que está se movendo em um círculo com raio $ R $. A posição dessa partícula é dada por:
onde o ângulo $ \theta(t) $ varia com o tempo conforme:
Temos que resolver três partes:
(a) Encontrar os vetores velocidade $ \mathbf{v} $ e aceleração $ \mathbf{a} $;
(b) Mostrar que $ \mathbf{v} $ é perpendicular a $ \mathbf{r} $;
© Calcular o produto vetorial $ \mathbf{r} \times \mathbf{p} $, onde $ \mathbf{p} $ é o momento linear.
(a) Encontrar os vetores velocidade $ \mathbf{v} $ e aceleração $ \mathbf{a} $;
(b) Mostrar que $ \mathbf{v} $ é perpendicular a $ \mathbf{r} $;
© Calcular o produto vetorial $ \mathbf{r} \times \mathbf{p} $, onde $ \mathbf{p} $ é o momento linear.
Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial para derivar a posição e obter a velocidade e aceleração, além de conhecimentos sobre vetores e produto vetorial.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a), encontrando os vetores velocidade $ \mathbf{v} $ e aceleração $ \mathbf{a} $.
Primeiro, lembrando que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar $ \mathbf{r} $ em relação a $ t $:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar as funções trigonométricas.
Sabemos que:
Substituindo isso na expressão da velocidade:
Agora, para encontrar a aceleração $ \mathbf{a} $, que é a derivada da velocidade:
Vamos derivar $ \mathbf{v} $:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos mostrar que o vetor velocidade $ \mathbf{v} $ é perpendicular ao vetor posição $ \mathbf{r} $.
Para verificar a perpendicularidade entre dois vetores, podemos calcular o produto escalar entre eles. Se o produto escalar for zero, os vetores são perpendiculares.
Vamos calcular $ \mathbf{r} \cdot \mathbf{v} $:
Multiplicando os componentes:
Simplificando:
Como o produto escalar deu zero, concluímos que $ \mathbf{v} $ é perpendicular a $ \mathbf{r} $.
Passo 4
Finalmente, vamos resolver a parte ©, calculando o produto vetorial $ \mathbf{r} \times \mathbf{p} $, onde $ \mathbf{p} $ é o momento linear dado por $ \mathbf{p} = m\mathbf{v} $.
Primeiro, vamos expressar $ \mathbf{p} $:
Agora, calculando o produto vetorial $ \mathbf{r} \times \mathbf{p} $:
Usando as propriedades do produto vetorial, sabemos que $ \mathbf{i} \times \mathbf{i} = 0 $, $ \mathbf{j} \times \mathbf{j} = 0 $, e $ \mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k} $:
Simplificando:
Resposta
(a) A velocidade é $ \mathbf{v} = R(\omega_{0} + \alpha t)[-\sin \theta(t) \mathbf{i} + \cos \theta(t) \mathbf{j}] $ e a aceleração é $ \mathbf{a} = R\alpha[-\sin \theta(t) \mathbf{i} + \cos \theta(t) \mathbf{j}] - R(\omega_{0} + \alpha t)^2[\cos \theta(t) \mathbf{i} + \sin \theta(t) \mathbf{j}] $.
(b) O vetor velocidade $ \mathbf{v} $ é perpendicular ao vetor posição $ \mathbf{r} $ porque o produto escalar $ \mathbf{r} \cdot \mathbf{v} = 0 $.
© O produto vetorial $ \mathbf{r} \times \mathbf{p} = mR^2 (\omega_{0} + \alpha t)(\cos^2 \theta(t) - \sin^2 \theta(t)) \mathbf{k} $.