Uma mangueira situada à
acima do solo lança água com um ângulo de
em relação à horizontal, atingindo uma distância horizontal de
. Faça os cálculos e marque a alternativa correta para: (i) A velocidade de lançamento
; (ii) O tempo total de vôo (
) da água desde o lançamento até atingir o solo; (iii) A altura máxima atingida por o jato de água
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o lançamento de água por uma mangueira que está a 1,5 metros acima do solo. A água é lançada com um ângulo de 41°, e ela percorre uma distância horizontal de 25 metros antes de tocar o chão. Vamos trabalhar com a física do movimento projetado, ou seja, movimento de projetil. Para resolver isso, vamos precisar das equações do movimento no eixo horizontal e vertical, considerando a altura inicial do lançamento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do movimento. Como a água é lançada com um ângulo de 41°, precisamos separar a velocidade inicial $ v_0 $ nas direções horizontal ($ v_{0x}
v_{0y} $).
As fórmulas para essas componentes são:
Onde:
- $ \theta = 41° $
- $ v_0 $ é a velocidade de lançamento que queremos encontrar
Passo 3
Sabemos que a água percorre uma distância horizontal ($ \Delta x $) de 25 metros. A fórmula para o deslocamento horizontal é:
Onde:
- $ t_v $ é o tempo total de voo
Podemos rearranjar essa equação para encontrar $ t_v $:
Passo 4
Agora, vamos analisar o movimento vertical. A água é lançada de uma altura inicial de 1,5 metros e atinge o solo, então podemos usar a equação do movimento vertical:
Onde:
- $ y = 0 $ (no solo)
- $ y_0 = 1,5 $ m
- $ g = 9,8 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
Substituindo os valores:
Lembrando que já temos $ t_v $ em termos de $ v_0 $, podemos substituir:
Simplificando:
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar $ v_0 $.
Passo 5
Resolvendo a equação para $ v_0 $, podemos realizar os cálculos:
Primeiro, calcule $ \tan(41°) $ e $ \cos(41°) $:
Substituindo na equação:
Calculando:
Multiplicando ambos os lados por $ v_0^2 $:
Calculando o denominador:
Então:
Agora, isolando $ v_0^2 $:
Finalmente, tirando a raiz quadrada:
Passo 6
Agora que temos $ v_0 $, podemos encontrar o tempo total de voo $ t_v $:
Passo 7
Para encontrar a altura máxima $ H_{máx} $, usamos a fórmula:
Onde:
Então:
Resposta
(i) A velocidade de lançamento $ v_0 $ é aproximadamente 15,21 m/s.
(ii) O tempo total de voo $ t_v $ da água é aproximadamente 2,18 segundos.
(iii) A altura máxima atingida pelo jato de água $ H_{máx} $ é aproximadamente 6,59 metros.