Uma mangueira situada à 1,5 m acima do solo lança água com um ângulo de theta=41,0^circ em relação à horizontal, atingindo uma distância horizontal de De. Faça os cálculos e marque a alternativa correta para: (i) A velocidade de lançamento v0; (ii) O tempo total de vôo ( tv ) da água desde o lançamento até atingir o solo; (iii) A altura máxima atingida por o jato de água H máx á.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o lançamento de água por uma mangueira que está a 1,5 metros acima do solo. A água é lançada com um ângulo de 41°, e ela percorre uma distância horizontal de 25 metros antes de tocar o chão. Vamos trabalhar com a física do movimento projetado, ou seja, movimento de projetil. Para resolver isso, vamos precisar das equações do movimento no eixo horizontal e vertical, considerando a altura inicial do lançamento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do movimento. Como a água é lançada com um ângulo de 41°, precisamos separar a velocidade inicial $ v_0 $ nas direções horizontal ($ v_{0x} v0 v_{0y} $).
As fórmulas para essas componentes são:
v0x
v0y
Onde:
  • $ \theta = 41° $
  • $ v_0 $ é a velocidade de lançamento que queremos encontrar

Passo 3

Sabemos que a água percorre uma distância horizontal ($ \Delta x $) de 25 metros. A fórmula para o deslocamento horizontal é:
De
Onde:
  • $ t_v $ é o tempo total de voo
    Podemos rearranjar essa equação para encontrar $ t_v $:
De

Passo 4

Agora, vamos analisar o movimento vertical. A água é lançada de uma altura inicial de 1,5 metros e atinge o solo, então podemos usar a equação do movimento vertical:
y = y0 + v0y cdot tv - 12 g tv^2
Onde:
  • $ y = 0 $ (no solo)
  • $ y_0 = 1,5 $ m
  • $ g = 9,8 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
Substituindo os valores:
y = 0
Lembrando que já temos $ t_v $ em termos de $ v_0 $, podemos substituir:
y0 = 1,5
Simplificando:
g = 9,8 , m/s^2
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar $ v_0 $.

Passo 5

Resolvendo a equação para $ v_0 $, podemos realizar os cálculos:
Primeiro, calcule $ \tan(41°) $ e $ \cos(41°) $:
v0
tan(41°)
Substituindo na equação:
cos(41°)
Calculando:
tan(41°) approx 0,8693
cos(41°) approx 0,7547
Multiplicando ambos os lados por $ v_0^2 $:
0 = 1,5 + 25 cdot 0,8693 - 12 cdot 9,8 cdot ( 25v0 cdot 0,7547 )^2
Calculando o denominador:
0 = 1,5 + 21,7325 - 4,9 cdot 625v0^2 cdot 0,5697
Então:
0 = 23,2325 - 3062,5v0^2 cdot 0,5697
Agora, isolando $ v_0^2 $:
v0^2
Finalmente, tirando a raiz quadrada:
0 = 23,2325 cdot v0^2 - 3062,50,5697

Passo 6

Agora que temos $ v_0 $, podemos encontrar o tempo total de voo $ t_v $:
v0

Passo 7

Para encontrar a altura máxima $ H_{máx} $, usamos a fórmula:
Hmáx á
Onde:
Hmáx = y0 + v0y^22g
Então:
v0y = v0 cdot sin(41°) approx 15,21 cdot 0,6561 approx 9,98 , m/s á

Resposta

(i) A velocidade de lançamento $ v_0 $ é aproximadamente 15,21 m/s.
(ii) O tempo total de voo $ t_v $ da água é aproximadamente 2,18 segundos.
(iii) A altura máxima atingida pelo jato de água $ H_{máx} $ é aproximadamente 6,59 metros.

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