Q10) Os elétrons em aparelhos de projeção de televisão são acelerados por uma diferença de potencial de 50 kV . (a) Calcule a velocidade dos elétrons usando a forma relativística da energia cinética, supondo que os elétrons partam do repouso. (b) Calcule a velocidade dos elétrons usando a forma clássica de energia cinética. (c) A diferença de velocidade é significativa no design deste conjunto?

Passo 1

O enunciado dá que uma diferença de potencial é V=50\\ \text{kV} e pede três coisas:
(a) calcular a velocidade dos elétrons usando a forma relativística da energia cinética, supondo que partem do repouso;
(b) calcular a velocidade usando a forma clássica da energia cinética;
(c) avaliar se a diferença de velocidades é significativa para o projeto do aparelho.
Informações relevantes que temos desde o enunciado: a energia ganha por um elétron ao ser acelerado por V é eV (onde e é a carga elementar).

Passo 2

Vamos reunir constantes e relações úteis (vou explicar o que cada símbolo significa):
  • e = carga do elétron =1{,}602\times10^{-19}\\ \text{C}. Essa constante multiplica a diferença de potencial para dar a energia (em joules) fornecida ao elétron: K=eV.
  • m = massa do elétron em repouso =9{,}109\times10^{-31}\\ \text{kg}.
  • c = velocidade da luz no vácuo =2{,}998\times10^{8}\\ \text{m/s}.
  • Energia cinética clássica: \displaystyle K_{\text{cl}}=\tfrac{1}{2} m v^{2}. Aqui v é a velocidade a encontrar.
  • Energia cinética relativística: \displaystyle K_{\text{rel}}=(\gamma-1) mc^{2}, com \displaystyle \gamma=\frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}. Aqui \gamma é o fator de Lorentz que relaciona energia e velocidade.
    Também é útil o valor da energia de repouso do elétron em unidades de elétron-volt: m c^{2}=511\\ \text{keV} (isto é 8{,}187\times10^{-14}\\ \text{J}).
    A energia fornecida ao elétron é K=eV. Para V=50\\ \text{kV} temos K=50\\ \text{keV}.

Passo 3

Resolução (a) — velocidade usando a energia relativística.
  1. Igualamos a energia fornecida à energia cinética relativística:
eV = (\gamma-1) mc^{2}.
Aqui eV é a energia em joules (ou podemos trabalhar em keV para simplificar as razões).
  1. Isolamos \gamma:
\gamma = 1 + \frac{eV}{mc^{2}}.
Inserindo eV=50\\ \text{keV} e mc^{2}=511\\ \text{keV} (uso keV para cancelar unidades),
\gamma = 1 + \frac{50}{511} = 1 + 0{,}09785 = 1{,}09785.
  1. Agora usamos a relação entre \gamma e v:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^{2}}}.
Substituindo \gamma=1{,}09785:
\frac{v}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{(1{,}09785)^{2}}} = \sqrt{1 - 0{,}83000} = \sqrt{0{,}169998} = 0{,}41231.
  1. Finalmente a velocidade em m/s:
v = 0{,}41231\;c = 0{,}41231\times2{,}998\times10^{8}\\ \text{m/s} = 1{,}236\times10^{8}\\ \text{m/s}.
Portanto, usando relatividade obtemos \displaystyle v_{\text{rel}}\approx1{,}236\times10^{8}\\ \text{m/s} (aproximadamente 0{,}412\,c).
Obs.: expliquei cada passo algebraico — a ideia chave é que a energia fornecida pela diferença de potencial aumenta a energia total do elétron e a fórmula relativística liga essa energia à velocidade via \gamma.

Passo 4

Resolução (b) — velocidade usando a energia cinética clássica.
  1. A fórmula clássica é
K = \tfrac{1}{2} m v^{2}.
Aqui usamos K=eV em joules. Primeiro calculemos K em joules:
K = eV = (1{,}602\times10^{-19}\\ \text{C})\times(5{,}0\times10^{4}\\ \text{V}) = 8{,}010\times10^{-15}\\ \text{J}.
  1. Isolando v:
v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 eV}{m}}.
Substituindo os valores:
v = \sqrt{\frac{2\times8{,}010\times10^{-15}}{9{,}109\times10^{-31}}} = \sqrt{1{,}759\times10^{16}} = 1{,}326\times10^{8}\\ \text{m/s}.
  1. Em fração de c:
\frac{v_{\text{cl}}}{c} = \frac{1{,}326\times10^{8}}{2{,}998\times10^{8}} = 0{,}4426.
Portanto, a fórmula clássica dá \displaystyle v_{\text{cl}}\approx1{,}326\times10^{8}\\ \text{m/s} (aproximadamente 0{,}443\,c). Note que a fórmula clássica tende a superestimar a velocidade quando as energias são uma fração significativa da energia de repouso.

Passo 5

Resolução (c) — comparação e significado prático.
  1. Diferença absoluta e relativa:
\Delta v = v_{\text{cl}} - v_{\text{rel}} = (1{,}326-1{,}236)\times10^{8}\\ \text{m/s} = 0{,}090\times10^{8}\\ \text{m/s} = 9{,}0\times10^{6}\\ \text{m/s}.
Diferença percentual relativa (em relação ao valor relativístico):
\frac{\Delta v}{v_{\text{rel}}} = \frac{9{,}0\times10^{6}}{1{,}236\times10^{8}} \approx 0{,}0728 = 7{,}28\%.
  1. Interpretação prática (jeito direto e honesto): a discrepância é da ordem de 7{,}3\%. Isso não é enorme — para estimativas rápidas e ordens de grandeza a aproximação clássica poderia ser aceitável — mas também não é desprezível: em aplicações de óptica eletrônica (foco do feixe, deflexão, tempo de voo, precisão de imagem) um erro de vários por cento pode afetar desempenho e calibração. Além disso, o fator relativístico encontrado ( \gamma\approx1{,}098) mostra que já há efeito relativístico moderado. Portanto, em projeto e simulações que exigem precisão realista, é recomendado usar a fórmula relativística; para cálculos muito aproximados a correção clássica ainda dá uma ideia, mas tende a superestimar a velocidade.

Resposta

(a) \displaystyle v_{\text{rel}}\approx1{,}236\times10^{8}\\ \text{m/s} (aprox. 0{,}412\,c).
(b) \displaystyle v_{\text{cl}}\approx1{,}326\times10^{8}\\ \text{m/s} (aprox. 0{,}443\,c).
(c) Diferença de \approx7{,}3\%; não enorme mas não desprezível — para projetos precisos recomenda-se tratar relativisticamente.

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