Q10) Os elétrons em aparelhos de projeção de televisão são acelerados por uma diferença de potencial de 50 kV . (a) Calcule a velocidade dos elétrons usando a forma relativística da energia cinética, supondo que os elétrons partam do repouso. (b) Calcule a velocidade dos elétrons usando a forma clássica de energia cinética. (c) A diferença de velocidade é significativa no design deste conjunto?
Passo 1
O enunciado dá que uma diferença de potencial é
e pede três coisas:
(a) calcular a velocidade dos elétrons usando a forma relativística da energia cinética, supondo que partem do repouso;
(b) calcular a velocidade usando a forma clássica da energia cinética;
(c) avaliar se a diferença de velocidades é significativa para o projeto do aparelho.
Informações relevantes que temos desde o enunciado: a energia ganha por um elétron ao ser acelerado por é
(onde
é a carga elementar).
(a) calcular a velocidade dos elétrons usando a forma relativística da energia cinética, supondo que partem do repouso;
(b) calcular a velocidade usando a forma clássica da energia cinética;
(c) avaliar se a diferença de velocidades é significativa para o projeto do aparelho.
Informações relevantes que temos desde o enunciado: a energia ganha por um elétron ao ser acelerado por
Passo 2
Vamos reunir constantes e relações úteis (vou explicar o que cada símbolo significa):
-
= carga do elétron . Essa constante multiplica a diferença de potencial para dar a energia (em joules) fornecida ao elétron: . -
= massa do elétron em repouso . -
= velocidade da luz no vácuo . - Energia cinética clássica:
. Aqui é a velocidade a encontrar. - Energia cinética relativística:
, com . Aqui é o fator de Lorentz que relaciona energia e velocidade.
Também é útil o valor da energia de repouso do elétron em unidades de elétron-volt:(isto é ).
A energia fornecida ao elétron é. Para temos .
Passo 3
Resolução (a) — velocidade usando a energia relativística.
- Igualamos a energia fornecida à energia cinética relativística:
Aqui
é a energia em joules (ou podemos trabalhar em keV para simplificar as razões).
- Isolamos
:
Inserindo
e
(uso keV para cancelar unidades),
- Agora usamos a relação entre
e :
Substituindo
:
- Finalmente a velocidade em m/s:
Portanto, usando relatividade obtemos
(aproximadamente
).
Obs.: expliquei cada passo algebraico — a ideia chave é que a energia fornecida pela diferença de potencial aumenta a energia total do elétron e a fórmula relativística liga essa energia à velocidade via .
Obs.: expliquei cada passo algebraico — a ideia chave é que a energia fornecida pela diferença de potencial aumenta a energia total do elétron e a fórmula relativística liga essa energia à velocidade via
Passo 4
Resolução (b) — velocidade usando a energia cinética clássica.
- A fórmula clássica é
Aqui usamos
em joules. Primeiro calculemos
em joules:
- Isolando
:
Substituindo os valores:
- Em fração de
:
Portanto, a fórmula clássica dá
(aproximadamente
). Note que a fórmula clássica tende a superestimar a velocidade quando as energias são uma fração significativa da energia de repouso.
Passo 5
Resolução (c) — comparação e significado prático.
- Diferença absoluta e relativa:
Diferença percentual relativa (em relação ao valor relativístico):
- Interpretação prática (jeito direto e honesto): a discrepância é da ordem de
. Isso não é enorme — para estimativas rápidas e ordens de grandeza a aproximação clássica poderia ser aceitável — mas também não é desprezível: em aplicações de óptica eletrônica (foco do feixe, deflexão, tempo de voo, precisão de imagem) um erro de vários por cento pode afetar desempenho e calibração. Além disso, o fator relativístico encontrado ( ) mostra que já há efeito relativístico moderado. Portanto, em projeto e simulações que exigem precisão realista, é recomendado usar a fórmula relativística; para cálculos muito aproximados a correção clássica ainda dá uma ideia, mas tende a superestimar a velocidade.
Resposta
(a)
(aprox.
).
(b) (aprox.
).
(c) Diferença de ; não enorme mas não desprezível — para projetos precisos recomenda-se tratar relativisticamente.
(b)
(c) Diferença de