Determinar a altura d’água em uma galeria de águas pluviais, de concreto (
0,013 ), diâmetro igual a 900 mm , declividade de fundo de
, transportando uma vazão de
em regime permanente e uniforme.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a altura d’água (profundidade
) numa galeria circular de concreto que transporta vazão permanente e uniforme. Dados fornecidos:
O objetivo é achar a profundidade de água
(em metros) dentro do tubo de diâmetro
que resulta nessa vazão usando os dados acima. Não há outras perguntas no enunciado.
Passo 2
Vamos à teoria necessária (passo a passo, sem pular etapas).
- Fórmula de Manning (para escoamento aberto uniforme):
onde:
-
é a vazão ( ); -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional); -
é a área molhada da seção ( ); -
é o raio hidráulico ( ), definido por ; -
é o perímetro molhado ( ); -
é a declividade do fundo ( ).
- Geometria da secção circular parcialmente cheia (fundamental para calcular
e ). Seja o raio do tubo e a profundidade da lâmina d’água medida a partir do fundo. Definimos o ângulo central (em rad) correspondente ao trecho molhado da circunferência por
Com esse
as fórmulas para área e perímetro molhado são:
Então o raio hidráulico é
Essas fórmulas vêm da área de um segmento circular e do comprimento do arco.
- Conclusão: substituindo
e na equação de Manning obtemos uma equação implícita em (através de ). Não existe fórmula fechada para ; devemos resolver numericamente.
Passo 3
Colocando valores conhecidos e preparando para calcular numericamente.
- Primeiro calculemos constantes:
Calculemos numericamente:
Logo, para qualquer
temos
Nosso alvo é encontrar
tal que
.
- Método numérico: como estamos numa prova sem calculadora sofisticada, o método prático é tentativa e refinação (bisseção/interpolação). Vou fazer sucessivas tentativas de valores normalizados
para aproximar com algumas iterações, mostrando as contas passo a passo.
Passo 4
Teste extremo: tubo cheio (
, ou
) — ver se a vazão máxima é maior ou menor que a desejada.
Para
temos
, área completa:
Perímetro molhado
Raio hidráulico
Calculemos
:
Então
Interpretação: tubo cheio transporta aproximadamente
, que é maior que a nossa
. Logo a profundidade procurada
é menor que
(óptimo — não transborda).
Passo 5
Teste intermédio: tubo meio-cheio (
, isto é
).
Para
temos
(meia-lua), logo
Interpretação: meia-largura dá
, que é menor que
. Logo a profundidade desejada está entre
e
. Agora fazemos refinamento entre
e
.
Passo 6
Refinamento: tentativas sucessivas (vou mostrar 3 tentativas significativas até convergir razoavelmente).
Tentativa 1:
.
- Calcule
. -
. -
. -
. - Área:
- Perímetro molhado:
- Raio hidráulico:
-
. - Vazão calculada:
Comparação:
, então
é um pouco maior que
.
Tentativa 2:
.
-
. -
. -
. -
. - Área:
-
-
-
- Vazão:
Comparação:
. Então
está entre
e
.
Tentativa 3: interpolação/afinação entre
e
. Faço uma tentativa em
.
-
-
. -
-
- Área:
-
-
-
- Vazão:
Comparação:
é muito próximo de
. Podemos afinar mais, mas já estamos com erro pequeno (<0,002 m^3/s).
Passo 7
Interpretação final e conclusão numérica: a profundidade
que gera
está aproximadamente entre
e
. A melhor aproximação encontrada foi
(para
), que produz
. Se quiser uma aproximação que produza exatamente
com uma iteração extra, obteríamos cerca de
.
Dica prática para prova: faça uma primeira verificação com o conduto cheio e meio cheio para localizar intervalo, depois refine por bisseção ou interpolação linear entre os dois valores até obter precisão desejada. Anote sempre
,
,
,
,
e calcule
com a constante
para cada tentativa.