Determinar a altura d’água em uma galeria de águas pluviais, de concreto ( n= 0,013 ), diâmetro igual a 900 mm , declividade de fundo de 0,004 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, transportando uma vazão de 800 \mathrm{~L} / \mathrm{s} em regime permanente e uniforme.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a altura d’água (profundidade y) numa galeria circular de concreto que transporta vazão permanente e uniforme. Dados fornecidos:
n = 0{,}013,\quad D = 900\\ \mathrm{mm} = 0{,}9\\ \mathrm{m},\quad S = 0{,}004\\ \mathrm{m/m},\quad Q = 800\\ \mathrm{L/s}=0{,}8\\ \mathrm{m^3/s}.
O objetivo é achar a profundidade de água y (em metros) dentro do tubo de diâmetro D que resulta nessa vazão usando os dados acima. Não há outras perguntas no enunciado.

Passo 2

Vamos à teoria necessária (passo a passo, sem pular etapas).
  1. Fórmula de Manning (para escoamento aberto uniforme):
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^3/s});
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional);
  • A é a área molhada da seção ( \mathrm{m^2});
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido por R=\dfrac{A}{P};
  • P é o perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • S é a declividade do fundo ( \mathrm{m/m}).
  1. Geometria da secção circular parcialmente cheia (fundamental para calcular A e P). Seja r=\dfrac{D}{2} o raio do tubo e y a profundidade da lâmina d’água medida a partir do fundo. Definimos o ângulo central \theta (em rad) correspondente ao trecho molhado da circunferência por
\theta = 2\operatorname{arccos}\!\left(\frac{r-y}{r}\right).
Com esse \theta as fórmulas para área e perímetro molhado são:
A=\frac{r^{2}}{2}\,(\theta-\sin\theta),
P=r\,\theta.
Então o raio hidráulico é
R=\frac{A}{P}=\frac{\dfrac{r^{2}}{2}(\theta-\sin\theta)}{r\theta}=\frac{r}{2}\cdot\frac{\theta-\sin\theta}{\theta}.
Essas fórmulas vêm da área de um segmento circular e do comprimento do arco.
  1. Conclusão: substituindo A e R na equação de Manning obtemos uma equação implícita em y (através de \theta). Não existe fórmula fechada para y; devemos resolver numericamente.

Passo 3

Colocando valores conhecidos e preparando para calcular numericamente.
  1. Primeiro calculemos constantes:
r=\frac{D}{2}=\frac{0{,}9}{2}=0{,}45\\ \mathrm{m}.
\frac{1}{n}\,S^{1/2}=\frac{1}{0{,}013}\sqrt{0{,}004}.
Calculemos numericamente:
\sqrt{0{,}004}\approx 0{,}0632456,\qquad \frac{1}{0{,}013}\approx 76{,}92308,
K\equiv\frac{1}{n}\,S^{1/2}\approx 76{,}92308\times 0{,}0632456 \approx 4{,}86889.
Logo, para qualquer y temos
Q(y)=K\;A(y)\;[R(y)]^{2/3}.
Nosso alvo é encontrar y tal que Q(y)=0{,}8\\ \mathrm{m^3/s}.
  1. Método numérico: como estamos numa prova sem calculadora sofisticada, o método prático é tentativa e refinação (bisseção/interpolação). Vou fazer sucessivas tentativas de valores normalizados y/D para aproximar y com algumas iterações, mostrando as contas passo a passo.

Passo 4

Teste extremo: tubo cheio ( y=D, ou y/D=1) — ver se a vazão máxima é maior ou menor que a desejada.
Para y=D=0{,}9\\ \mathrm{m} temos \theta=2\pi, área completa:
A_{\text{cheio}}=\pi r^{2}=\pi(0{,}45)^{2}\approx 0{,}63617\\ \mathrm{m^2}.
Perímetro molhado
P_{\text{cheio}}=2\pi r\approx 2{,}82743\\ \mathrm{m}.
Raio hidráulico
R_{\text{cheio}}=\frac{A}{P}=\frac{\pi r^{2}}{2\pi r}=\frac{r}{2}=0{,}225\\ \mathrm{m}.
Calculemos R^{2/3}:
R^{2/3}\approx 0{,}225^{2/3}\approx 0{,}370\\ (\text{aprox.}).
Então
Q_{\text{cheio}}=K\;A_{\text{cheio}}\;R_{\text{cheio}}^{2/3}\approx 4{,}86889\times 0{,}63617\times 0{,}370 \approx 1{,}146\\ \mathrm{m^3/s}.
Interpretação: tubo cheio transporta aproximadamente 1{,}146\\ \mathrm{m^3/s}, que é maior que a nossa 0{,}8. Logo a profundidade procurada y é menor que D (óptimo — não transborda).

Passo 5

Teste intermédio: tubo meio-cheio ( y/D=0{,}5, isto é y=r=0{,}45\\ \mathrm{m}).
Para y=0{,}45\\ \mathrm{m} temos \theta=\pi (meia-lua), logo
A=\frac{\pi r^{2}}{2}\approx 0{,}31831\\ \mathrm{m^2},
P=r\theta=0{,}45\pi\approx 1{,}41372\\ \mathrm{m},
R=\frac{A}{P}\approx 0{,}225\\ \mathrm{m}\quad(\text{mesmo valor numérico que antes}),é
R^{2/3}\approx 0{,}370.
Q_{0{,}5}=K\;A\;R^{2/3}\approx 4{,}86889\times 0{,}31831\times 0{,}370 \approx 0{,}573\\ \mathrm{m^3/s}.
Interpretação: meia-largura dá 0{,}573\\ \mathrm{m^3/s}, que é menor que 0{,}8. Logo a profundidade desejada está entre 0{,}5D e 1{,}0D. Agora fazemos refinamento entre y/D=0{,}5 e y/D=1{,}0.

Passo 6

Refinamento: tentativas sucessivas (vou mostrar 3 tentativas significativas até convergir razoavelmente).
Tentativa 1: y/D=0{,}6\Rightarrow y=0{,}54\\ \mathrm{m}.
  • Calcule \alpha=(r-y)/r=(0{,}45-0{,}54)/0{,}45=-0{,}2.
  • \operatorname{arccos}(\alpha)=\operatorname{arccos}(-0{,}2)\approx 1{,}77215\\ \mathrm{rad}.
  • \theta=2\times 1{,}77215\approx 3{,}54431\\ \mathrm{rad}.
  • \sin\theta\approx \sin(3{,}54431)\approx -0{,}3922.
  • Área: A=\frac{r^{2}}{2}(\theta-\sin\theta)=\frac{0{,}45^{2}}{2}\big(3{,}54431-(-0{,}3922)\big) \approx 0{,}39804\\ \mathrm{m^2}.
  • Perímetro molhado: P=r\theta\approx 0{,}45\times 3{,}54431\approx 1{,}59494\\ \mathrm{m}.
  • Raio hidráulico: R=\frac{A}{P}\approx \frac{0{,}39804}{1{,}59494}\approx 0{,}2496\\ \mathrm{m}.
  • R^{2/3}\approx 0{,}3955.
  • Vazão calculada: Q_{0{,}6}=K\;A\;R^{2/3}\approx 4{,}86889\times 0{,}39804\times 0{,}3955 \approx 0{,}7667\\ \mathrm{m^3/s}.
Comparação: 0{,}7667<0{,}8, então y é um pouco maior que 0{,}6D.
Tentativa 2: y/D=0{,}62\Rightarrow y=0{,}558\\ \mathrm{m}.
  • \alpha=(0{,}45-0{,}558)/0{,}45=-0{,}24.
  • \operatorname{arccos}(-0{,}24)\approx 1{,}813\\ \mathrm{rad}.
  • \theta\approx 3{,}626\\ \mathrm{rad}.
  • \sin\theta\approx -0{,}4660.
  • Área: A\approx \frac{0{,}45^{2}}{2}\,(3{,}626-(-0{,}4660))\approx 0{,}4145\\ \mathrm{m^2}.
  • P\approx 0{,}45\times 3{,}626\approx 1{,}6317\\ \mathrm{m}.
  • R\approx 0{,}4145/1{,}6317\approx 0{,}2541\\ \mathrm{m}.
  • R^{2/3}\approx 0{,}4010.
  • Vazão: Q_{0{,}62}\approx 4{,}86889\times 0{,}4145\times 0{,}4010 \approx 0{,}8096\\ \mathrm{m^3/s}.
Comparação: 0{,}8096>0{,}8. Então y está entre 0{,}6D e 0{,}62D.
Tentativa 3: interpolação/afinação entre 0{,}6 e 0{,}62. Faço uma tentativa em y/D=0{,}615\Rightarrow y=0{,}5535\\ \mathrm{m}.
  • \alpha=(0{,}45-0{,}5535)/0{,}45\approx -0{,}23.
  • \operatorname{arccos}(-0{,}23)\approx 1{,}802\\ \mathrm{rad}.
  • \theta\approx 3{,}604\\ \mathrm{rad}.
  • \sin\theta\approx -0{,}4478.
  • Área: A\approx \frac{0{,}45^{2}}{2}\,(3{,}604-(-0{,}4478))\approx 0{,}4104\\ \mathrm{m^2}.
  • P\approx 0{,}45\times 3{,}604\approx 1{,}6218\\ \mathrm{m}.
  • R\approx 0{,}4104/1{,}6218\approx 0{,}2530\\ \mathrm{m}.
  • R^{2/3}\approx 0{,}3996.
  • Vazão: Q_{0{,}615}\approx 4{,}86889\times 0{,}4104\times 0{,}3996 \approx 0{,}7983\\ \mathrm{m^3/s}.
Comparação: 0{,}7983 é muito próximo de 0{,}8. Podemos afinar mais, mas já estamos com erro pequeno (<0,002 m^3/s).

Passo 7

Interpretação final e conclusão numérica: a profundidade y que gera Q=0{,}8\\ \mathrm{m^3/s} está aproximadamente entre y/D=0{,}615 e y/D=0{,}62. A melhor aproximação encontrada foi y\approx 0{,}5535\\ \mathrm{m} (para y/D=0{,}615), que produz Q\approx 0{,}7983\\ \mathrm{m^3/s}. Se quiser uma aproximação que produza exatamente 0{,}8 com uma iteração extra, obteríamos cerca de y\approx 0{,}554\\ \mathrm{m}.
Dica prática para prova: faça uma primeira verificação com o conduto cheio e meio cheio para localizar intervalo, depois refine por bisseção ou interpolação linear entre os dois valores até obter precisão desejada. Anote sempre r, \theta, A, P, R e calcule Q com a constante K para cada tentativa.

Resposta

\;y\approx 0{,}554\\ \mathrm{m}

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