Determinar o ângulo \alpha formado pelos vetores v e T(v) quando o espaço gira em torno do eixo dos z de um ângulo \theta, nos seguintes casos:
\mathrm{v}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) e \theta=180^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ângulo \alpha formado entre o vetor \mathrm{v} e a imagem T(\mathrm{v}) quando o espaço é girado em torno do eixo z de um ângulo \theta. As informações dadas são:
\mathrm{v}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}},\dfrac{\sqrt{2}}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) e \theta=180^\circ.
A pergunta concreta: qual é o valor de \alpha, o ângulo entre \mathrm{v} e T(\mathrm{v})?

Passo 2

Vou lembrar e explicar a regra de como uma rotação em torno do eixo z age sobre coordenadas. A rotação de ângulo \theta em torno do eixo z é dada pela multiplicação pelo seguinte operador (matriz de rotação):
R_z(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Isto significa que um ponto ou vetor (x,y,z) é enviado em
(x',y',z')=(x\cos\theta - y\sin\theta,\; x\sin\theta + y\cos\theta,\; z).
Explicação do porquê: a rotação no plano xy combina x e y com \cos\theta e \sin\theta de forma a girar o vetor em torno do eixo z, enquanto a componente z permanece inalterada porque o giro é ao redor desse eixo.]

Passo 3

Agora aplico isso para \theta=180^\circ. Em radianos \theta=\pi. Sabemos que
\cos\pi=-1 e \sin\pi=0. Substituindo na matriz ou na fórmula de ação:
R_z(\pi)=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Portanto a rotação de 180^\circ em torno de z transforma um vetor (x,y,z) em (-x,-y,z).]

Passo 4

Aplico isso ao vetor dado \mathrm{v}=(v_x,v_y,v_z) com
v_x=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}},\qquad v_y=\dfrac{\sqrt{2}}{4},\qquad v_z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Assim
T(\mathrm{v}) = (-v_x,\,-v_y,\,v_z)=\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}},\; -\dfrac{\sqrt{2}}{4},\; \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 5

Para obter o ângulo \alpha entre dois vetores usamos a fórmula do produto escalar:
\mathrm{u}\cdot\mathrm{w}=\|\mathrm{u}\|\,\|\mathrm{w}\|\cos\alpha,
onde \|\mathrm{u}\| é o comprimento (norma) de \mathrm{u}. Aplicando aos vetores \mathrm{v} e T(\mathrm{v}),
\cos\alpha=\dfrac{\mathrm{v}\cdot T(\mathrm{v})}{\|\mathrm{v}\|\,\|T(\mathrm{v})\|}.
Observação útil: uma rotação preserva comprimentos, logo \|T(\mathrm{v})\|=\|\mathrm{v}\|. Assim
\cos\alpha=\dfrac{\mathrm{v}\cdot T(\mathrm{v})}{\|\mathrm{v}\|^2}.
Também vou calcular \|\mathrm{v}\|^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2 mostrando passo a passo os quadrados das componentes para ter tudo claro.

Passo 6

Calculo os quadrados das componentes:
v_x^2=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)^2=\dfrac{3}{8}, \qquad v_y^2=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^2=\dfrac{1}{8}, \qquad v_z^2=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}.
Somando:
\|\mathrm{v}\|^2=\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{4}{8}=\dfrac{8}{8}=1.
Então \mathrm{v} é um vetor unitário: \|\mathrm{v}\|=1. Como a rotação preserva normas, \|T(\mathrm{v})\|=1 também.

Passo 7

Faço o produto escalar \mathrm{v}\cdot T(\mathrm{v}). Como T(\mathrm{v})=(-v_x,-v_y,v_z),
\mathrm{v}\cdot T(\mathrm{v}) = v_x(-v_x)+v_y(-v_y)+v_z(v_z) = -v_x^2 - v_y^2 + v_z^2.
Usando os valores dos quadrados calculados:
\mathrm{v}\cdot T(\mathrm{v}) = -\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{4}{8}=0.

Passo 8

Com \mathrm{v}\cdot T(\mathrm{v})=0 e \|\mathrm{v}\|=\|T(\mathrm{v})\|=1,
\cos\alpha=\dfrac{0}{1\cdot 1}=0.
Portanto \alpha é o ângulo cujo cosseno é zero, ou seja \alpha=90^\circ (ou \alpha=\dfrac{\pi}{2} radianos).

Resposta

\alpha=90^\circ

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