Determinar o ângulo \alpha formado pelos vetores v e T(v) quando o espaço gira em torno do eixo dos z de um ângulo \theta, nos seguintes casos: \mathrm{v}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) e \theta=180^{\circ}
Passo 1
O enunciado pede para determinar o ângulo \alpha formado entre o vetor \mathrm{v} e a imagem T(\mathrm{v}) quando o espaço é girado em torno do eixo z de um ângulo \theta. As informações dadas são: \mathrm{v}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}},\dfrac{\sqrt{2}}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) e \theta=180^\circ.
A pergunta concreta: qual é o valor de \alpha, o ângulo entre \mathrm{v} e T(\mathrm{v})?
Passo 2
Vou lembrar e explicar a regra de como uma rotação em torno do eixo z age sobre coordenadas. A rotação de ângulo \theta em torno do eixo z é dada pela multiplicação pelo seguinte operador (matriz de rotação):
Explicação do porquê: a rotação no plano xy combina x e y com \cos\theta e \sin\theta de forma a girar o vetor em torno do eixo z, enquanto a componente z permanece inalterada porque o giro é ao redor desse eixo.]
Passo 3
Agora aplico isso para \theta=180^\circ. Em radianos \theta=\pi. Sabemos que \cos\pi=-1 e \sin\pi=0. Substituindo na matriz ou na fórmula de ação: