Como AC=AB, o vetor \overrightarrow{AC} deve ter mesmo módulo 2\sqrt{5} e deve formar com \overrightarrow{AB} um ângulo de \angle A = 30^\circ. Geometricamente isso significa que \overrightarrow{AC} é o vetor \overrightarrow{AB} rotacionado em +30^\circ ou em -30^\circ em torno de A. Assim teremos duas possíveis posições para C, simétricas.
Passo 4
Fórmula de rotação de um vetor no plano: se (x,y) é um vetor, a rotação por um ângulo \theta dá o vetor
Rotacionar um vetor preserva seu módulo, então \lVert\overrightarrow{AC}_1\rVert=\lVert\overrightarrow{AC}_2\rVert=\lVert\overrightarrow{AB}\rVert=2\sqrt{5}, garantindo AC=AB.
A rotação por \pm 30^\circ garante que o ângulo \angle A entre \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} seja 30^\circ, portanto \angle B=\angle C=75^\circ.
Assim há duas soluções simétricas em relação à reta que passa por A e que divide o ângulo entre as duas possíveis configurações.
Resposta
\displaystyle C = \bigl(-1-\sqrt{3},\;2\sqrt{3}\bigr) \displaystyle C = \bigl(3-\sqrt{3},\;2+2\sqrt{3}\bigr)