Em um triângulo ABC , os ângulos B e C medem 75^{\circ} cada. Sendo \mathrm{A}(1,1) e \mathrm{B}(-1,5), determinar o vértice C .

Passo 1

O enunciado pede determinar o vértice C de um triângulo ABC sabendo que:
\text{ângulos } \angle B = 75^\circ \quad\text{e}\quad \angle C = 75^\circ,â
e as coordenadas dos pontos
A(1,1)\quad\text{e}\quad B(-1,5).
Então precisamos encontrar as coordenadas de C que satisfazem essas condições.

Passo 2

Observações imediatas (informação importante que vem do enunciado):
\angle B = \angle C,
logo os lados opostos a esses ângulos são iguais. Portanto
AC = AB.
Além disso, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^\circ. Assim o ângulo em A vale
\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (75^\circ + 75^\circ) = 30^\circ.
Resumo das informações úteis:
  • AC = AB.
  • \angle A = 30^\circ.
  • Coordenadas conhecidas: A(1,1), B(-1,5).

Passo 3

Vamos trabalhar com vetores a partir de A. O vetor \overrightarrow{AB} é
\overrightarrow{AB} = B - A = (-1-1,\;5-1) = (-2,\;4).
O comprimento (módulo) de \overrightarrow{AB} é
\lVert \overrightarrow{AB}\rVert = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.
Como AC=AB, o vetor \overrightarrow{AC} deve ter mesmo módulo 2\sqrt{5} e deve formar com \overrightarrow{AB} um ângulo de \angle A = 30^\circ. Geometricamente isso significa que \overrightarrow{AC} é o vetor \overrightarrow{AB} rotacionado em +30^\circ ou em -30^\circ em torno de A. Assim teremos duas possíveis posições para C, simétricas.

Passo 4

Fórmula de rotação de um vetor no plano: se (x,y) é um vetor, a rotação por um ângulo \theta dá o vetor
\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}.
Aqui \theta = 30^\circ, portanto
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.
Aplicamos a rotação a \overrightarrow{AB}=(-2,4).
Rotacionando por +30^\circ:
\overrightarrow{AC}_1 = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\\[4pt]\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2\\[2pt]4\end{pmatrix}.
Calculando componente a componente:
x_1 = -2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - 4\cdot\frac{1}{2} = -\sqrt{3} - 2,
y_1 = -2\cdot\frac{1}{2} + 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = -1 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}-1.
Portanto
\overrightarrow{AC}_1 = \bigl(-\sqrt{3}-2,\;2\sqrt{3}-1\bigr).
As coordenadas do ponto C_1 são A + \overrightarrow{AC}_1, isto é
C_1 = \bigl(1 + (-\sqrt{3}-2),\;1 + (2\sqrt{3}-1)\bigr) = \bigl(-1-\sqrt{3},\;2\sqrt{3}\bigr).]

Passo 5

Agora rotacionando por -30^\circ (a outra possibilidade):
\cos(-30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin(-30^\circ)=-\frac{1}{2}.
Aplicando a matriz de rotação:
\overrightarrow{AC}_2 = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\\[4pt]-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2\\[2pt]4\end{pmatrix}.
Calculando:
x_2 = -2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + 4\cdot\frac{1}{2} = -\sqrt{3} + 2,
y_2 = -2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) + 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}+1.
Então
\overrightarrow{AC}_2 = \bigl(2-\sqrt{3},\;2\sqrt{3}+1\bigr).
E as coordenadas do ponto C_2 são
C_2 = \bigl(1 + (2-\sqrt{3}),\;1 + (2\sqrt{3}+1)\bigr) = \bigl(3-\sqrt{3},\;2+2\sqrt{3}\bigr).]

Passo 6

Comentários finais e verificação conceitual:
  • Rotacionar um vetor preserva seu módulo, então \lVert\overrightarrow{AC}_1\rVert=\lVert\overrightarrow{AC}_2\rVert=\lVert\overrightarrow{AB}\rVert=2\sqrt{5}, garantindo AC=AB.
  • A rotação por \pm 30^\circ garante que o ângulo \angle A entre \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} seja 30^\circ, portanto \angle B=\angle C=75^\circ.
  • Assim há duas soluções simétricas em relação à reta que passa por A e que divide o ângulo entre as duas possíveis configurações.

Resposta

\displaystyle C = \bigl(-1-\sqrt{3},\;2\sqrt{3}\bigr)
\displaystyle C = \bigl(3-\sqrt{3},\;2+2\sqrt{3}\bigr)

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