Determinar o ângulo \alpha formado pelos vetores v e T(v) quando o espaço gira em torno do eixo dos z de um ângulo \theta, nos seguintes casos:
\mathrm{v}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) e \theta=60^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ângulo \alpha formado entre o vetor v e a imagem T(v), onde T é a rotação do espaço em torno do eixo z de ângulo \theta=60^\circ. As informações dadas são:
v=\left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}},\;\frac{\sqrt{2}}{4},\;\frac{\sqrt{2}}{2}\right), \qquad \theta=60^\circ.
Não há outras perguntas; queremos apenas \alpha entre v e T(v).

Passo 2

Entendendo como a rotação em torno do eixo z age sobre um vetor. A rotação de ângulo \theta em torno de z é dada pela matriz
R_z(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Portanto, se v=(x,y,z), então
T(v)=R_z(\theta)v=\big(x\cos\theta - y\sin\theta,\; x\sin\theta + y\cos\theta,\; z\big).
Observe que a rotação deixa a componente z inalterada e só gira as componentes x,y no plano xy.]

Passo 3

Fórmula para o ângulo entre dois vetores. Se u e w são vetores, o cosseno do ângulo \varphi entre eles é
\cos\varphi=\frac{u\cdot w}{\|u\|\,\|w\|}.
Aqui usaremos u=v e w=T(v). Importante: rotações preservam norma, então \|T(v)\|=\|v\|. Isso simplifica o denominador para \|v\|^2. Vou explicar também o produto escalar: para a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
a\cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.

Passo 4

Cálculo simbólico do produto escalar v\cdot T(v). Escrevendo v=(x,y,z) e usando a forma de T(v),
v\cdot T(v)=x(x\cos\theta - y\sin\theta)+y(x\sin\theta + y\cos\theta)+z\cdot z.
Agrupando termos:
v\cdot T(v)=x^2\cos\theta - xy\sin\theta + xy\sin\theta + y^2\cos\theta + z^2.
Os termos com \sin\theta se cancelam ( -xy\sin\theta + xy\sin\theta = 0), sobrando
v\cdot T(v)=(x^2+y^2)\cos\theta + z^2.
Como \|v\|=\|T(v)\|, temos então
\cos\alpha=\frac{v\cdot T(v)}{\|v\|\,\|T(v)\|}=\frac{(x^2+y^2)\cos\theta + z^2}{\|v\|^2}.
Se v for unitário ( \|v\|^2=1), isso fica simplesmente \cos\alpha=(x^2+y^2)\cos\theta + z^2.

Passo 5

Agora calculemos x^2,y^2,z^2 a partir de v. Usando os componentes dados:
x=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}},\quad y=\frac{\sqrt{2}}{4},\quad z=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Calcule as potências:
x^2=\frac{3}{8},\qquad y^2=\frac{1}{8},\qquad z^2=\frac{1}{2}.
Somando para verificar que v é unitário:
x^2+y^2+z^2=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}+\frac{4}{8}=1.
Logo \|v\|^2=1. Além disso
x^2+y^2=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Substituímos na expressão para \cos\alpha. Temos
\cos\alpha=(x^2+y^2)\cos\theta + z^2=\frac{1}{2}\cos\theta + \frac{1}{2}.
Com \theta=60^\circ e \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}, obtemos
\cos\alpha=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}.

Passo 7

Concluímos que
\alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{4}\right).
Em graus, usando aproximação numérica,
\alpha\approx 41,41^\circ.
Isso significa que o vetor foi girado de tal forma que o ângulo entre v e T(v) é aproximadamente 41,41^\circ. Força aí — você chegou na resposta com contas simples de produto escalar!

Resposta

\displaystyle \alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{3}{4}\right)\approx 41,41^\circ

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