Determinar o ângulo \alpha formado pelos vetores v e T(v) quando o espaço gira em torno do eixo dos z de um ângulo \theta, nos seguintes casos: \mathrm{v}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) e \theta=60^{\circ}
Passo 1
O enunciado pede para determinar o ângulo \alpha formado entre o vetor v e a imagem T(v), onde T é a rotação do espaço em torno do eixo z de ângulo \theta=60^\circ. As informações dadas são:
Observe que a rotação deixa a componente z inalterada e só gira as componentes x,y no plano xy.]
Passo 3
Fórmula para o ângulo entre dois vetores. Se u e w são vetores, o cosseno do ângulo \varphi entre eles é
\cos\varphi=\frac{u\cdot w}{\|u\|\,\|w\|}.
Aqui usaremos u=v e w=T(v). Importante: rotações preservam norma, então \|T(v)\|=\|v\|. Isso simplifica o denominador para \|v\|^2. Vou explicar também o produto escalar: para a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
a\cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
Passo 4
Cálculo simbólico do produto escalar v\cdot T(v). Escrevendo v=(x,y,z) e usando a forma de T(v),
v\cdot T(v)=x(x\cos\theta - y\sin\theta)+y(x\sin\theta + y\cos\theta)+z\cdot z.
Isso significa que o vetor foi girado de tal forma que o ângulo entre v e T(v) é aproximadamente 41,41^\circ. Força aí — você chegou na resposta com contas simples de produto escalar!