(ITA) Seja \mathrm{A}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}\right)_{5 \times 5} a matriz tal que \mathrm{a}_{\mathrm{ij}}=2^{\mathrm{i}-1}(2 \mathrm{j}-1), 1 \leq \mathrm{i}, \mathrm{j} \leq 5. Considere as afirmações a seguir:
  1. Os elementos de cada linha i formam uma progressão aritmética de razão 2 .
    II. Os elementos de cada coluna j formam uma progressão geométrica de razão 2 .
    III. O somatório dos elementos \mathrm{a}_{\mathrm{ij}} com \mathrm{i}=\mathrm{j} é um número primo.
É (são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas I e II.
c) apenas II e III.

Passo 1

O enunciado dá a matriz A=(a_{ij})_{5\times 5} definida por
a_{ij}=2^{\,i-1}\,(2j-1),\qquad 1\le i,j\le 5.
Pede-se avaliar a veracidade das três afirmações:
  1. Os elementos de cada linha i formam uma progressão aritmética de razão 2.
    II. Os elementos de cada coluna j formam uma progressão geométrica de razão 2.
    III. O somatório dos elementos a_{ij} com i=j (ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal) é um número primo.
Vou verificar cada afirmação passo a passo, explicando os conceitos necessários.

Passo 2

Verificando a afirmação I (PA de razão 2).
Primeiro, o que é uma progressão aritmética (PA)? Uma sequência (x_1,x_2,\dots) é uma PA se a diferença entre termos sucessivos for constante; ou seja, existe um número d tal que
x_{k+1}-x_k=d\quad\text{para todo }k.
Esse d é a razão (diferença) da PA.
Agora, fixe uma linha i. Os elementos dessa linha são, para j=1,2,3,4,5,
a_{ij}=2^{\,i-1}\,(2j-1).
Calcule a diferença entre um termo e o anterior na mesma linha:
a_{i,j+1}-a_{i,j}=2^{\,i-1}\bigl(2(j+1)-1\bigr)-2^{\,i-1}\bigl(2j-1\bigr).
Simplificando dentro dos parênteses:
a_{i,j+1}-a_{i,j}=2^{\,i-1}\bigl(2j+2-1-2j+1\bigr)=2^{\,i-1}\cdot 2=2^{\,i}.
Portanto, a diferença entre termos sucessivos da linha i é 2^{\,i}. Para que a afirmação I fosse verdadeira seria preciso que essa diferença fosse sempre 2 para todo i. Mas vemos que ela depende de i: é 2^{\,1}=2 quando i=1, porém para i=2 é 2^{\,2}=4, para i=3 é 8, etc. Conclusão: as linhas são PAs, sim, mas a razão não é sempre 2. Logo a afirmação I é falsa (apenas a linha i=1 tem razão 2).

Passo 3

Verificando a afirmação II (PG de razão 2).
Primeiro, o que é uma progressão geométrica (PG)? Uma sequência (y_1,y_2,\dots) é uma PG se a razão entre termos sucessivos for constante; ou seja, existe um número r tal que
\frac{y_{k+1}}{y_k}=r\quad\text{para todo }k,
desde que os termos não sejam zero.
Agora, fixe uma coluna j. Os elementos dessa coluna são, para i=1,2,3,4,5,
a_{ij}=2^{\,i-1}\,(2j-1).
Calcule a razão entre um termo da coluna e o anterior (fixando j):
\frac{a_{i+1,j}}{a_{i,j}}=\frac{2^{\,i}\,(2j-1)}{2^{\,i-1}\,(2j-1)}=\frac{2^{\,i}}{2^{\,i-1}}=2.
A razão é 2 para todo i (e para todo j), desde que 2j-1\neq 0 — aqui 2j-1 é sempre positivo porque j\ge1. Então cada coluna é de fato uma PG com razão 2. Conclusão: a afirmação II é verdadeira.

Passo 4

Verificando a afirmação III (soma da diagonal principal é primo).
A diagonal principal corresponde a i=j. Vamos escrever a soma pedida:
S=\sum_{i=1}^{5} a_{ii}=\sum_{i=1}^{5} 2^{\,i-1}\,(2i-1).
Vou calcular termo a termo (isso é simples e seguro para fazer sem calculadora mantendo o raciocínio claro):
  • Para i=1: a_{11}=2^{0}\,(2\cdot 1-1)=1\cdot 1=1.
  • Para i=2: a_{22}=2^{1}\,(2\cdot 2-1)=2\cdot 3=6.
  • Para i=3: a_{33}=2^{2}\,(2\cdot 3-1)=4\cdot 5=20.
  • Para i=4: a_{44}=2^{3}\,(2\cdot 4-1)=8\cdot 7=56.
  • Para i=5: a_{55}=2^{4}\,(2\cdot 5-1)=16\cdot 9=144.
Somando:
S=1+6+20+56+144.
Compute passo a passo:
1+6=7,\qquad 7+20=27,\qquad 27+56=83,\qquad 83+144=227.
Então S=227.
Agora precisamos verificar se 227 é primo. Método prático de verificação: testar divisibilidade apenas por primos menores ou iguais a \sqrt{227}. Calcule a raiz quadrada aproximada:
\sqrt{227}\approx 15{,}07.
Portanto basta testar divisibilidade por primos \,2,3,5,7,11,13.
  • 2: 227 é ímpar, não divide.
  • 3: soma dos dígitos 2+2+7=11, não múltiplo de 3, logo não divide.
  • 5: termina em 7, não divide.
  • 7: 7\cdot 32=224, resto 3, não divide.
  • 11: 11\cdot 20=220, resto 7, não divide.
  • 13: 13\cdot 17=221, resto 6, não divide.
Nenhum divisor primo até 13 divide 227, logo 227 não tem divisores além de 1 e ele mesmo. Conclusão: 227 é primo. Portanto a afirmação III é verdadeira.

Passo 5

Conclusão combinada: I é falsa, II é verdadeira e III é verdadeira. Portanto a única alternativa correta é a que diz “apenas II e III”.

Resposta

c) apenas II e III.

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