(ITA) Seja
a matriz tal que
. Considere as afirmações a seguir:
- Os elementos de cada linha i formam uma progressão aritmética de razão 2 .
II. Os elementos de cada coluna j formam uma progressão geométrica de razão 2 .
III. O somatório dos elementos
com
é um número primo.
É (são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas I e II.
c) apenas II e III.
II. Os elementos de cada coluna j formam uma progressão geométrica de razão 2 .
III. O somatório dos elementos
a) apenas I.
b) apenas I e II.
c) apenas II e III.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
definida por
Pede-se avaliar a veracidade das três afirmações:
- Os elementos de cada linha
formam uma progressão aritmética de razão .
II. Os elementos de cada colunaformam uma progressão geométrica de razão .
III. O somatório dos elementoscom (ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal) é um número primo.
Vou verificar cada afirmação passo a passo, explicando os conceitos necessários.
Passo 2
Verificando a afirmação I (PA de razão
).
Primeiro, o que é uma progressão aritmética (PA)? Uma sequência
é uma PA se a diferença entre termos sucessivos for constante; ou seja, existe um número
tal que
Esse
é a razão (diferença) da PA.
Agora, fixe uma linha
. Os elementos dessa linha são, para
,
Calcule a diferença entre um termo e o anterior na mesma linha:
Simplificando dentro dos parênteses:
Portanto, a diferença entre termos sucessivos da linha
é
. Para que a afirmação I fosse verdadeira seria preciso que essa diferença fosse sempre
para todo
. Mas vemos que ela depende de
: é
quando
, porém para
é
, para
é
, etc. Conclusão: as linhas são PAs, sim, mas a razão não é sempre
. Logo a afirmação I é falsa (apenas a linha
tem razão
).
Passo 3
Verificando a afirmação II (PG de razão
).
Primeiro, o que é uma progressão geométrica (PG)? Uma sequência
é uma PG se a razão entre termos sucessivos for constante; ou seja, existe um número
tal que
desde que os termos não sejam zero.
Agora, fixe uma coluna
. Os elementos dessa coluna são, para
,
Calcule a razão entre um termo da coluna e o anterior (fixando
):
A razão é
para todo
(e para todo
), desde que
— aqui
é sempre positivo porque
. Então cada coluna é de fato uma PG com razão
. Conclusão: a afirmação II é verdadeira.
Passo 4
Verificando a afirmação III (soma da diagonal principal é primo).
A diagonal principal corresponde a
. Vamos escrever a soma pedida:
Vou calcular termo a termo (isso é simples e seguro para fazer sem calculadora mantendo o raciocínio claro):
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Somando:
Compute passo a passo:
Então
.
Agora precisamos verificar se
é primo. Método prático de verificação: testar divisibilidade apenas por primos menores ou iguais a
. Calcule a raiz quadrada aproximada:
Portanto basta testar divisibilidade por primos
.
-
: é ímpar, não divide. -
: soma dos dígitos , não múltiplo de , logo não divide. -
: termina em , não divide. -
: , resto , não divide. -
: , resto , não divide. -
: , resto , não divide.
Nenhum divisor primo até
divide
, logo
não tem divisores além de
e ele mesmo. Conclusão:
é primo. Portanto a afirmação III é verdadeira.
Passo 5
Conclusão combinada: I é falsa, II é verdadeira e III é verdadeira. Portanto a única alternativa correta é a que diz “apenas II e III”.
Resposta
c) apenas II e III.