Determinar o ângulo entre os planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o ângulo entre os planos
e
.
Informações dadas (do enunciado): as equações dos dois planos são e
. Nada mais é fornecido.
Informações dadas (do enunciado): as equações dos dois planos são
Passo 2
Ideia central (explicação didática): cada plano em
pode ser escrito na forma
. O vetor
é um vetor normal ao plano (ou seja, perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano). O ângulo entre dois planos é definido como o ângulo entre os seus vetores normais. Para evitar confusão com ângulos maiores que
, costuma-se tomar o ângulo agudo entre os normais (ou seja, o valor entre
e
). Vou usar essa definição para resolver o problema.
Passo 3
Identificar explicitamente os vetores normais dos planos:
Para o vetor normal é
.
Para o vetor normal é
.
Eu peguei esses coeficientes diretamente das equações dos planos dadas no enunciado.
Para
Para
Eu peguei esses coeficientes diretamente das equações dos planos dadas no enunciado.
Passo 4
Fórmula que vamos usar (aula curta): o produto escalar entre dois vetores
e
é dado por
onde
é o ângulo entre
e
, e
é a norma (comprimento) de
. Rearranjando, obtemos
Aqui vou aplicar essa fórmula aos normais
e
. Lembre-se:
é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
Passo 5
Calcular o produto escalar
:
Fazendo as contas passo a passo:
,
,
. Somando:
. Logo
Passo 6
Calcular as normas
e
:
A norma de é
.
A norma de
Para
:
Para
:
Passo 7
Aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre normais:
Como esse valor de cosseno é positivo, o ângulo entre os normais (e, portanto, entre os planos) é agudo, então não precisamos tomar suplementar.
Passo 8
Obter o ângulo explicitamente:
Se quiser um valor numérico aproximado, convertemos para graus (útil na prova se pedirem em graus). Calculando numericamente temos
(Usei a conversão
para passar de radianos para graus; o valor numérico foi arredondado com duas casas decimais em graus.)