Determinar o ângulo entre os planos \pi: x-2 y+5 z-6=0 e \gamma: 3 x-y+7 z-8=0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o ângulo entre os planos \pi: x-2y+5z-6=0 e \gamma: 3x-y+7z-8=0.
Informações dadas (do enunciado): as equações dos dois planos são \pi: x-2y+5z-6=0 e \gamma: 3x-y+7z-8=0. Nada mais é fornecido.

Passo 2

Ideia central (explicação didática): cada plano em \mathbb{R}^3 pode ser escrito na forma ax+by+cz+d=0. O vetor (a,b,c) é um vetor normal ao plano (ou seja, perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano). O ângulo entre dois planos é definido como o ângulo entre os seus vetores normais. Para evitar confusão com ângulos maiores que 90^\circ, costuma-se tomar o ângulo agudo entre os normais (ou seja, o valor entre 0^\circ e 90^\circ). Vou usar essa definição para resolver o problema.

Passo 3

Identificar explicitamente os vetores normais dos planos:
Para \pi: x-2y+5z-6=0 o vetor normal é \mathbf{n}_\pi = (1,-2,5).
Para \gamma: 3x-y+7z-8=0 o vetor normal é \mathbf{n}_\gamma = (3,-1,7).
Eu peguei esses coeficientes diretamente das equações dos planos dadas no enunciado.

Passo 4

Fórmula que vamos usar (aula curta): o produto escalar entre dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} é dado por
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}, e \|\mathbf{u}\| é a norma (comprimento) de \mathbf{u}. Rearranjando, obtemos
\cos\theta = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}.
Aqui vou aplicar essa fórmula aos normais \mathbf{n}_\pi e \mathbf{n}_\gamma. Lembre-se: \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é a soma dos produtos das componentes correspondentes.

Passo 5

Calcular o produto escalar \mathbf{n}_\pi\cdot\mathbf{n}_\gamma:
\mathbf{n}_\pi\cdot\mathbf{n}_\gamma = (1)(3)+(-2)(-1)+(5)(7).
Fazendo as contas passo a passo: (1)(3)=3, (-2)(-1)=2, (5)(7)=35. Somando: 3+2+35=40. Logo
\mathbf{n}_\pi\cdot\mathbf{n}_\gamma = 40.

Passo 6

Calcular as normas \|\mathbf{n}_\pi\| e \|\mathbf{n}_\gamma\|:
A norma de \mathbf{n}=(a,b,c) é \|\mathbf{n}\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.
Para \mathbf{n}_\pi=(1,-2,5):
\|\mathbf{n}_\pi\| = \sqrt{1^2+(-2)^2+5^2} = \sqrt{1+4+25} = \sqrt{30}.
Para \mathbf{n}_\gamma=(3,-1,7):
\|\mathbf{n}_\gamma\| = \sqrt{3^2+(-1)^2+7^2} = \sqrt{9+1+49} = \sqrt{59}.

Passo 7

Aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre normais:
\cos\theta = \frac{\mathbf{n}_\pi\cdot\mathbf{n}_\gamma}{\|\mathbf{n}_\pi\|\,\|\mathbf{n}_\gamma\|} = \frac{40}{\sqrt{30}\,\sqrt{59}} = \frac{40}{\sqrt{1770}}.
Como esse valor de cosseno é positivo, o ângulo entre os normais (e, portanto, entre os planos) é agudo, então não precisamos tomar suplementar.

Passo 8

Obter o ângulo explicitamente:
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{40}{\sqrt{1770}}\right).
Se quiser um valor numérico aproximado, convertemos para graus (útil na prova se pedirem em graus). Calculando numericamente temos
\theta \approx 0,3156\\ \text{rad} \approx 18,07^\circ.
(Usei a conversão 1^\circ = \pi/180 para passar de radianos para graus; o valor numérico foi arredondado com duas casas decimais em graus.)

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{40}{\sqrt{1770}}\right)\approx 0,3156\\ \text{rad}\approx 18,07^\circ

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