Determinar o ângulo entre os seguintes pares de retas
r_{1}:(x, y, z)=(-2,0,3)+t(-1,1,-2), t \in \mathbb{R} e r_{2}:(x, y, z)=(0,-6,1)+t(2,1,1), t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em \mathbb{R}^3 em forma paramétrica e pede o ângulo entre elas. O conteúdo aqui é geometria vetorial: o ângulo entre duas retas coincide com o ângulo entre seus vetores diretores, que obtém­-se pelo produto escalar.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores das retas: \mathbf{v}_1 = (-1,\,1,\,-2) a partir de (x,y,z)=(-2,0,3)+t(-1,1,-2),
e \mathbf{v}_2 = (2,\,1,\,1) a partir de (x,y,z)=(0,-6,1)+t(2,1,1).

Passo 3

Aplicamos produto escalar e normas:
\mathbf{v}_1\!\cdot\!\mathbf{v}_2 = (-1)\cdot 2 + 1\cdot 1 + (-2)\cdot 1 = -3,
\|\mathbf{v}_1\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}, \quad \|\mathbf{v}_2\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6},
\cos\theta = \frac{\bigl|\mathbf{v}_1\!\cdot\!\mathbf{v}_2\bigr|}{\|\mathbf{v}_1\|\;\|\mathbf{v}_2\|} = \frac{3}{\sqrt{6}\,\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \tfrac12.

Passo 4

Como \cos\theta = \tfrac12, concluímos que \theta = 60^\circ.

Resposta

\theta = 60^\circ.

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