Determinar
ângulo entre os seguintes planos
Passo 1
O enunciado pede para determinar o ângulo entre os dois planos
Informações dadas que vamos usar:
- As equações explícitas dos dois planos, que nos permitem extrair os coeficientes das variáveis
. - Não há figura nem outros dados; apenas as equações são necessárias.
Passo 2
Ideia-chave (aqui só explico o que vamos usar, sem calcular ainda): o ângulo entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais. Portanto vamos:
- Extrair os vetores normais de cada plano (pegando os coeficientes de
nas equações). - Calcular o ângulo entre esses vetores usando produto escalar (dot product) e normas.
Vou ensinar cada conceito passo a passo.
Passo 3
Como obter o vetor normal de um plano:
- Se um plano tem equação
, então um vetor normal é . Isso ocorre porque o vetor é ortogonal a qualquer vetor que esteja contido no plano.
Aplicando às equações dadas:
(Expliquei: peguei os coeficientes das variáveis
diretamente das equações.)
Passo 4
Produto escalar (dot product): definição e por que serve.
- Para dois vetores
e , o produto escalar é
- Relação com o ângulo
entre os vetores:
onde
é a norma (magnitude) de
. Essa fórmula permite obter
.
Agora calculamos o produto escalar dos normais:
Agora calculamos o produto escalar dos normais:
Passo 5
Norma (magnitude) de um vetor: definição e cálculo.
- Para
,
Calculemos as normas dos normais:
Passo 6
Fórmula do cosseno do ângulo entre planos/vetores e observação sobre sinal:
- O ângulo entre os planos é o ângulo agudo entre os normais, portanto usamos o valor absoluto do produto escalar para garantir
:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Simplificação e reconhecimento de valor trigonométrico conhecido:
- Primeiro simplificamos
. Assim
- Multiplicando numerador e denominador por
:
- Sabemos (ou lembramos da tabela de cossenos) que
. Portanto
Passo 8
Dica rápida para prova (sem cálculo longo): ao simplificar
procure valores conhecidos como
, etc. Eles correspondem a ângulos usuais
, e evitam usar calculadora.