Determinar o ângulo entre os seguintes planos
\pi_{1}: x-y+4=0
\pi_{2}: 2 \mathrm{x}-\mathrm{y}-\mathrm{z}+3=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ângulo entre os dois planos
\pi_{1}: x-y+4=0
\pi_{2}: 2x-y-z+3=0
Informações dadas que vamos usar:
  • As equações explícitas dos dois planos, que nos permitem extrair os coeficientes das variáveis x,y,z.
  • Não há figura nem outros dados; apenas as equações são necessárias.

Passo 2

Ideia-chave (aqui só explico o que vamos usar, sem calcular ainda): o ângulo entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais. Portanto vamos:
  1. Extrair os vetores normais de cada plano (pegando os coeficientes de x,y,z nas equações).
  2. Calcular o ângulo entre esses vetores usando produto escalar (dot product) e normas.
    Vou ensinar cada conceito passo a passo.

Passo 3

Como obter o vetor normal de um plano:
  • Se um plano tem equação ax+by+cz+d=0, então um vetor normal é \mathbf{n}=(a,b,c). Isso ocorre porque o vetor (a,b,c) é ortogonal a qualquer vetor que esteja contido no plano.
    Aplicando às equações dadas:
\pi_{1}: x-y+4=0 \quad\Rightarrow\quad \mathbf{n}_{1}=(1,-1,0)
\pi_{2}: 2x-y-z+3=0 \quad\Rightarrow\quad \mathbf{n}_{2}=(2,-1,-1)
(Expliquei: peguei os coeficientes das variáveis x,y,z diretamente das equações.)

Passo 4

Produto escalar (dot product): definição e por que serve.
  • Para dois vetores \mathbf{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}) e \mathbf{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}), o produto escalar é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}.
  • Relação com o ângulo \varphi entre os vetores:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\varphi,
onde \|\mathbf{u}\| é a norma (magnitude) de \mathbf{u}. Essa fórmula permite obter \cos\varphi.
Agora calculamos o produto escalar dos normais:
\mathbf{n}_{1}\cdot\mathbf{n}_{2}=1\cdot 2 + (-1)\cdot(-1) + 0\cdot(-1)=2+1+0=3.

Passo 5

Norma (magnitude) de um vetor: definição e cálculo.
  • Para \mathbf{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}),
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}.
Calculemos as normas dos normais:
\|\mathbf{n}_{1}\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}.
\|\mathbf{n}_{2}\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.

Passo 6

Fórmula do cosseno do ângulo entre planos/vetores e observação sobre sinal:
  • O ângulo entre os planos é o ângulo agudo entre os normais, portanto usamos o valor absoluto do produto escalar para garantir \theta\in[0,\pi/2]:
\cos\theta=\frac{|\mathbf{n}_{1}\cdot\mathbf{n}_{2}|}{\|\mathbf{n}_{1}\|\|\mathbf{n}_{2}\|}.
Substituindo os valores que encontramos:
\cos\theta=\frac{|3|}{\sqrt{2}\,\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{12}}.

Passo 7

Simplificação e reconhecimento de valor trigonométrico conhecido:
  • Primeiro simplificamos \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}. Assim
\cos\theta=\frac{3}{2\sqrt{3}}.
  • Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}:
\cos\theta=\frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • Sabemos (ou lembramos da tabela de cossenos) que \cos 30^\circ=\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}. Portanto
\theta=30^\circ=\frac{\pi}{6}.

Passo 8

Dica rápida para prova (sem cálculo longo): ao simplificar \cos\theta procure valores conhecidos como \frac{\sqrt{3}}{2},\\ \frac{1}{2},\\ \frac{\sqrt{2}}{2}, etc. Eles correspondem a ângulos usuais 30^\circ,60^\circ,45^\circ, e evitam usar calculadora.

Resposta

30^\circ
\dfrac{\pi}{6}

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