Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o subconjunto
é um subespaço de
.
Informações dadas:
A pergunta é direta: “V é subespaço de
?” — quero uma resposta sim/não com justificativa.
Passo 2
Critério que vamos usar (explicado passo a passo): um subconjunto
de
é subespaço se e somente se as três propriedades seguintes valem:
-
contém o vetor nulo . - Por que? Porque todo subespaço linear precisa ter o neutro aditivo.
-
é fechado para soma: se e então . - Por que? Somar vetores do subespaço deve dar outro vetor do subespaço.
-
é fechado para multiplicação por escalar: se e então . - Por que? Multiplicar um vetor do subespaço por qualquer escalar deve resultar em vetor do subespaço.
No exame, para provar que um conjunto NÃO é subespaço normalmente basta encontrar uma falha numa dessas propriedades (um contraexemplo). Para provar que É subespaço, é preciso verificar todas três propriedades.
Passo 3
Verificamos a presença do vetor zero:
Calcule na condição definidora para :
Calcule na condição definidora para
Como a igualdade é verdadeira,
. Então a propriedade 1) vale. Bom começo!
Passo 4
Verificamos fechamento por multiplicação escalar (explicação didática):
Se , então
. Tome um escalar arbitrário
. O vetor
é
. Substituindo na equação:
Se
Portanto
para todo
. Conclusão:
é fechado sob multiplicação por escalar. Observação intuitiva: a equação é homogênea de grau
, por isso multiplica por
e preserva o zero.
Passo 5
Verificamos fechamento por soma (explicação geral):
Sejam e
. Então
Sejam
Considere
. Calcule a expressão definidora para a soma (expansão cuidadosa):
Logo,
se, e somente se,
Isso mostra que a pertença da soma a
exige uma condição EXTRA (produto cruzado) entre os componentes dos vetores — não é garantida em geral só porque
e
estão em
. Precisamos então de um contraexemplo concreto para mostrar falha.
Passo 6
Contraexemplo explícito (método direto e simples para a prova no exame):
Escolho
Escolho
Verifico que ambos pertencem a
:
Agora calculo a soma:
Verifico a condição definidora para a soma:
Portanto
. Achamos um par de vetores em
cuja soma não pertence a
, ou seja, a propriedade de fechamento por soma falha.
Passo 7
Consequência lógica do passo anterior: como
falha em ser fechado sob soma (a propriedade 2) não vale), isso basta para concluir que
não é um subespaço de
. Dica prática para a prova: quando a condição que define um conjunto é quadrática (como
), suspeite que soma pode falhar; basta buscar dois vetores simples que estejam na superfície e verificar se a soma sai dela.