Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo mathbb{R}^{n}
V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}-z^{2}=0\right\} \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o subconjunto
V=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}-z^{2}=0\right\}
é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.
Informações dadas:
V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}-z^{2}=0\}.
A pergunta é direta: “V é subespaço de \mathbb{R}^{3}?” — quero uma resposta sim/não com justificativa.

Passo 2

Critério que vamos usar (explicado passo a passo): um subconjunto W de \mathbb{R}^{n} é subespaço se e somente se as três propriedades seguintes valem:
  1. W contém o vetor nulo 0=(0,0,\dots,0).
    • Por que? Porque todo subespaço linear precisa ter o neutro aditivo.
  2. W é fechado para soma: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
    • Por que? Somar vetores do subespaço deve dar outro vetor do subespaço.
  3. W é fechado para multiplicação por escalar: se u\in W e t\in\mathbb{R} então t u\in W.
    • Por que? Multiplicar um vetor do subespaço por qualquer escalar deve resultar em vetor do subespaço.
No exame, para provar que um conjunto NÃO é subespaço normalmente basta encontrar uma falha numa dessas propriedades (um contraexemplo). Para provar que É subespaço, é preciso verificar todas três propriedades.

Passo 3

Verificamos a presença do vetor zero:
Calcule na condição definidora para (0,0,0):
0^{2}+0^{2}-0^{2}=0.
Como a igualdade é verdadeira, (0,0,0)\in V. Então a propriedade 1) vale. Bom começo!

Passo 4

Verificamos fechamento por multiplicação escalar (explicação didática):
Se v=(x,y,z)\in V, então x^{2}+y^{2}-z^{2}=0. Tome um escalar arbitrário t\in\mathbb{R}. O vetor t v é (tx,ty,tz). Substituindo na equação:
(tx)^{2}+(ty)^{2}-(tz)^{2}=t^{2}(x^{2}+y^{2}-z^{2})=t^{2}\cdot 0=0.
Portanto t v\in V para todo t\in\mathbb{R}. Conclusão: V é fechado sob multiplicação por escalar. Observação intuitiva: a equação é homogênea de grau 2, por isso multiplica por t^{2} e preserva o zero.

Passo 5

Verificamos fechamento por soma (explicação geral):
Sejam v_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})\in V e v_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})\in V. Então
x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-z_{1}^{2}=0,\qquad x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-z_{2}^{2}=0.
Considere v_{1}+v_{2}=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2}). Calcule a expressão definidora para a soma (expansão cuidadosa):
\begin{aligned} &(x_{1}+x_{2})^{2}+(y_{1}+y_{2})^{2}-(z_{1}+z_{2})^{2} \\\ &\quad= x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2} + y_{1}^{2}+2y_{1}y_{2}+y_{2}^{2} -\big(z_{1}^{2}+2z_{1}z_{2}+z_{2}^{2}\big) \\\ &\quad= \big(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-z_{1}^{2}\big) + \big(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-z_{2}^{2}\big) + 2\big(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}\big) \\\ &\quad= 0 + 0 + 2\big(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}\big) \\\ &\quad= 2\big(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}\big). \end{aligned}
Logo, v_{1}+v_{2}\in V se, e somente se,
x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}=0.
Isso mostra que a pertença da soma a V exige uma condição EXTRA (produto cruzado) entre os componentes dos vetores — não é garantida em geral só porque v_{1} e v_{2} estão em V. Precisamos então de um contraexemplo concreto para mostrar falha.

Passo 6

Contraexemplo explícito (método direto e simples para a prova no exame):
Escolho
v_{1}=(1,0,1),\qquad v_{2}=(0,1,1).
Verifico que ambos pertencem a V:
1^{2}+0^{2}-1^{2}=1-1=0\quad\Rightarrow\quad v_{1}\in V,
0^{2}+1^{2}-1^{2}=1-1=0\quad\Rightarrow\quad v_{2}\in V.
Agora calculo a soma:
v_{1}+v_{2}=(1,1,2).
Verifico a condição definidora para a soma:
1^{2}+1^{2}-2^{2}=1+1-4=-2\neq 0.
Portanto v_{1}+v_{2}\notin V. Achamos um par de vetores em V cuja soma não pertence a V, ou seja, a propriedade de fechamento por soma falha.

Passo 7

Consequência lógica do passo anterior: como V falha em ser fechado sob soma (a propriedade 2) não vale), isso basta para concluir que V não é um subespaço de \mathbb{R}^{3}. Dica prática para a prova: quando a condição que define um conjunto é quadrática (como x^{2}+y^{2}-z^{2}=0), suspeite que soma pode falhar; basta buscar dois vetores simples que estejam na superfície e verificar se a soma sai dela.

Resposta

V não é subespaço de \mathbb{R}^{3}.

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