As componentes das coordenadas são expressas em função de t: x é constante igual a 3, y depende de t por y=3-t, e z depende de t por z=2t.
O pedido é uma representação gráfica da reta no espaço tridimensional que essas equações descrevem (ou seja, desenhar/identificar a reta em um sistema de eixos x,y,z).]
Passo 2
Entender o que uma representação paramétrica fornece e como extrair a informação útil para desenhar a reta.
A forma paramétrica geral de uma reta em \mathbb{R}^3\) é
\[\begin{cases} x = x_0 + a t\\[4pt] y = y_0 + b t\\[4pt] z = z_0 + c t \end{cases}
onde:
(x_0,y_0,z_0)\] é um ponto qualquer da reta (por exemplo o ponto correspondente a \[t=0),
(a,b,c) é o vetor diretor da reta (indica direção e sentido; derivadas das coordenadas em relação a t),
Para t=0\] obtemos o ponto inicial (usual escolha conveniente)
\[(x,y,z)\big|_{t=0}=(3,\,3,\,0).\]
- Derivando cada coordenada em relação a \(t (ou lendo os coeficientes de t) obtemos o vetor diretor
\frac{d}{dt}(x,y,z)=(0,-1,2).
Portanto a reta passa por (3,3,0) e tem vetor diretor (0,-1,2).]
Passo 3
Escrever formas alternativas úteis da reta (isso ajuda a desenhar e a interpretar geometricamente).
Forma ponto-vetor (muito prática):
(x,y,z)=(3,3,0)+t(0,-1,2),\qquad t\in\mathbb{R}.
Forma simétrica (elimina t): da equação y=3-t tem-se t=3-y. Substituindo em z=2t dá
z=2(3-y)=6-2y.
Rearranjando,
2y+z=6.
Como x=3 é constante, a reta também pode ser vista como interseção das duas superfícies:
x=3\quad\text{e}\quad 2y+z=6.
Ou, em forma simétrica envolvendo t,
x=3,\qquad \frac{y-3}{-1}=\frac{z-0}{2}=t.
Passo 4
Escolher pontos concretos da reta para plotar no esboço — dois pontos determinam uma reta (melhor usar três para confirmar).
Calcular alguns pontos para valores simples de t:
Para t=0:
(x,y,z)=(3,3,0).
Para t=1:
y=3-1=2,\qquad z=2\cdot1=2,\qquad x=3,
logo (x,y,z)=(3,2,2).
Para t=-1:
y=3-(-1)=4,\qquad z=2(-1)=-2,\qquad x=3,
logo (x,y,z)=(3,4,-2).
Explicação didática: com esses pontos fica fácil desenhar a reta no plano x=3. Note que para t crescente, y diminui (coeficiente de t em y é -1) e z aumenta (coeficiente é 2), isto é, o vetor diretor indica movimento em direção negativa de y e positiva de z.
Passo 5
Como representar graficamente (passo a passo para desenhar num rascunho de prova):
Desenhe os três eixos x,y,z. Costuma-se desenhar x saindo para a direita, y para cima do plano da página e z para cima (ou y horizontal e z vertical dependendo do esquema). O importante é manter consistência ao posicionar pontos.
Marque o plano paralelo ao plano yz correspondente a x=3. Isso é uma “fatia” paralela ao plano yz, deslocada até x=3.
No plano x=3 desenhe o sistema de coordenadas y,z localmente. Use os pontos calculados:
(3,3,0),
(3,2,2),
(3,4,-2).
Coloque essas três marcas no plano x=3 conforme suas coordenadas y,z.
Trace a reta passando por esses pontos e desenhe setas em ambas as extremidades para indicar que ela se estende para t\to\pm\infty.
Se quiser evidenciar direção, desenhe um pequeno vetor a partir de (3,3,0) com as componentes (0,-1,2) (um segmento indo 1 unidade em -y e 2 unidades em +z).
Dica rápida para prova: sempre escolha t=0 e t=1 para obter dois pontos rápidos; a partir do vetor diretor você já sabe para onde a reta aponta.
Passo 6
Interpretação geométrica final curta (útil para conferir): a reta é a interseção do plano vertical x=3 com o plano inclinado 2y+z=6. Isso confirma que a reta está contida em uma fatia vertical (fixa x) e tem inclinação determinada pela relação linear entre y e z.