Determinar a área entre as elipses:
b)
e
.
b)
Passo 1
O enunciado pede a área da região que fica entre duas elipses dadas pelas equações
e
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A tarefa é determinar a área da região situada entre essas duas curvas (ou seja, a diferença das áreas das regiões internas das elipses, caso uma esteja contida na outra). Não foi dada figura, então vamos trabalhar algebricamente para descobrir centros, eixos e áreas.
Passo 2
Vamos transformar a primeira equação completando quadrados para identificar centro e semi-eixos. Começo agrupando termos em
e em
:
Complete o quadrado em
:
Complete o quadrado em
(observe o fator
):
Substituindo essas expressões na equação original:
Some os termos constantes:
. Portanto
ou, rearranjando,
Passo 3
Colocando em forma padrão de elipse, divido por
:
Isso nos diz que a primeira elipse tem centro em
. Os semi-eixos (medidas positivas) são
Fórmula (relembrando): a área de uma elipse com semi-eixos
e
é
Aplicando aqui:
Passo 4
Agora trate a segunda elipse do mesmo modo. Começo por completar quadrados:
Para
:
Para
(com fator
):
Substituindo:
Some os constantes:
. Então
ou
Passo 5
Colocando em forma padrão:
Daí os semi-eixos são
Aplicando a fórmula da área:
Passo 6
Antes de subtrair áreas, verifiquemos se a menor elipse está totalmente contida na maior. Observações importantes:
- Ambas as elipses têm o mesmo centro
(pegamos isso das formas padrão). - Os semi-eixos da primeira elipse são
e da segunda . Em cada direção coordenada a primeira tem semi-eixo maior que o da segunda ( e ).
Quando duas elipses têm o mesmo centro e as semi-dimensões de uma são todas maiores que as da outra, a menor está inteiramente contida na maior. Logo podemos calcular a área entre elas como a diferença das áreas internas.
Passo 7
A área entre as elipses é
Fazendo a subtração: