Determinar a área entre as elipses:
b) x^{2}+9 y^{2}-2 x-18 y+1=0 e x^{2}-2 x+4 y^{2}-8 y+4=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região que fica entre duas elipses dadas pelas equações
x^{2}+9 y^{2}-2 x-18 y+1=0
e
x^{2}-2 x+4 y^{2}-8 y+4=0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{(i)}\; x^{2}+9 y^{2}-2 x-18 y+1=0,
\text{(ii)}\; x^{2}-2 x+4 y^{2}-8 y+4=0.
A tarefa é determinar a área da região situada entre essas duas curvas (ou seja, a diferença das áreas das regiões internas das elipses, caso uma esteja contida na outra). Não foi dada figura, então vamos trabalhar algebricamente para descobrir centros, eixos e áreas.

Passo 2

Vamos transformar a primeira equação completando quadrados para identificar centro e semi-eixos. Começo agrupando termos em x e em y:
x^{2}-2x + 9y^{2}-18y +1 = 0.
Complete o quadrado em x:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1.
Complete o quadrado em y (observe o fator 9):
9y^{2}-18y = 9\bigl(y^{2}-2y\bigr) = 9\bigl((y-1)^{2}-1\bigr) = 9(y-1)^{2}-9.
Substituindo essas expressões na equação original:
(x-1)^{2}-1 + 9(y-1)^{2}-9 +1 = 0.
Some os termos constantes: -1-9+1 = -9. Portanto
(x-1)^{2} + 9(y-1)^{2} -9 = 0
ou, rearranjando,
(x-1)^{2} + 9(y-1)^{2} = 9.

Passo 3

Colocando em forma padrão de elipse, divido por 9:
\frac{(x-1)^{2}}{9} + \frac{(y-1)^{2}}{1} = 1.
Isso nos diz que a primeira elipse tem centro em (1,1). Os semi-eixos (medidas positivas) são
a_{1}=3 \quad\text{(direção \(x\))},\qquad b_{1}=1 \quad\text{(direção \(y\))}.çãçã
Fórmula (relembrando): a área de uma elipse com semi-eixos a e b é
A=\pi a b.
Aplicando aqui:
A_{1} = \pi \cdot 3 \cdot 1 = 3\pi.

Passo 4

Agora trate a segunda elipse do mesmo modo. Começo por completar quadrados:
x^{2}-2x + 4y^{2}-8y +4 = 0.
Para x:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1.
Para y (com fator 4):
4y^{2}-8y = 4\bigl(y^{2}-2y\bigr) = 4\bigl((y-1)^{2}-1\bigr) = 4(y-1)^{2}-4.
Substituindo:
(x-1)^{2}-1 + 4(y-1)^{2}-4 +4 = 0.
Some os constantes: -1-4+4 = -1. Então
(x-1)^{2} + 4(y-1)^{2} -1 = 0
ou
(x-1)^{2} + 4(y-1)^{2} = 1.

Passo 5

Colocando em forma padrão:
\frac{(x-1)^{2}}{1} + \frac{(y-1)^{2}}{1/4} = 1.
Daí os semi-eixos são
a_{2}=1 \quad\text{(direção \(x\))},\qquad b_{2}=\tfrac{1}{2} \quad\text{(direção \(y\))}.çãçã
Aplicando a fórmula da área:
A_{2} = \pi \cdot 1 \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Antes de subtrair áreas, verifiquemos se a menor elipse está totalmente contida na maior. Observações importantes:
  • Ambas as elipses têm o mesmo centro (1,1) (pegamos isso das formas padrão).
  • Os semi-eixos da primeira elipse são (3,1) e da segunda (1,\tfrac{1}{2}). Em cada direção coordenada a primeira tem semi-eixo maior que o da segunda ( 3>1 e 1>\tfrac{1}{2}).
    Quando duas elipses têm o mesmo centro e as semi-dimensões de uma são todas maiores que as da outra, a menor está inteiramente contida na maior. Logo podemos calcular a área entre elas como a diferença das áreas internas.

Passo 7

A área entre as elipses é
A_{\text{entre}} = A_{1} - A_{2} = 3\pi - \tfrac{\pi}{2}.
Fazendo a subtração:
3\pi - \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{6\pi}{2} - \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{5\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{5\pi}{2}

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