Determinar a área limitada pela curva y=5 x-x^{2} e pelo eixo x . Construa o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede a área limitada pela curva
y = 5x - x^2
e pelo eixo x.
Conteúdo: cálculo de área pela integral definida, encontramos primeiro onde a curva cruza o eixo x e depois integramos a função entre esses pontos.

Passo 2

Encontrar as interseções com o eixo x, isto é, resolver
5x - x^2 = 0.
Fatorando, obtemos
x(5 - x) = 0
logo as raízes são \,x = 0 e \,x = 5.

Passo 3

Analisar a forma da parábola e seu vértice. A função é do tipo
y = -x^2 + 5x,
ou seja, uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de x^2 negativo).
O vértice x_v fica em
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2\,( -1)} = 2{,}5,
e o valor de y_v é
y_v = 5\cdot2{,}5 - (2{,}5)^2 = 12{,}5 - 6{,}25 = 6{,}25.

Passo 4

Construção do gráfico:
  1. Marque os pontos de interseção (0,0) e (5,0).
  2. Marque o vértice \bigl(2{,}5,6{,}25\bigr).
  3. Desenhe uma parábola simétrica em torno da reta x = 2{,}5, abrindo para baixo e passando por esses pontos.

Passo 5

Montar a integral que dá a área entre a curva e o eixo x no intervalo de \,x=0 a \,x=5:
\text{Área} = \int_{0}^{5} \bigl(5x - x^2\bigr)\,dx.Á

Passo 6

Calcular a integral:
Antiderivada de 5x - x^2 é
\frac{5}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3.
Avaliaremos de 0 a 5:
\left[\frac{5}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{5} = \Bigl(\frac{5}{2}\cdot 5^2 - \frac{1}{3}\cdot 5^3\Bigr) - 0 = \frac{5\cdot25}{2} - \frac{125}{3} = \frac{125}{2} - \frac{125}{3} = 125\Bigl(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\Bigr) = 125\cdot\frac{1}{6} = \frac{125}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{125}{6} unidades de área.

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