Encontre uma parametrização para cada uma das curvas:
A reta 3 x-2 y=8.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da reta 3x - 2y = 8. O conteúdo é parametrização de retas no plano, para o qual precisamos de um ponto sobre a reta e de um vetor diretor.

Passo 2

Um vetor normal à reta é (3,-2), pois a equação está na forma 3x - 2y = 8. Um vetor diretor \mathbf v deve satisfazer
(3,-2)\cdot \mathbf v = 0.
Escolhendo \mathbf v = (2,3) temos
3\cdot 2 + (-2)\cdot 3 = 6 - 6 = 0,
logo \mathbf v=(2,3) é um vetor diretor.

Passo 3

Para achar um ponto \mathbf p_0 na reta, fixe x=0. Da equação
3\cdot 0 - 2y = 8
vem y = -4. Portanto, \mathbf p_0 = (0,-4) está na reta.

Passo 4

Montando a parametrização pela fórmula \mathbf r(t) = \mathbf p_0 + t\,\mathbf v, obtemos
\mathbf r(t) = (0,-4) + t\,(2,3),
ou em coordenadas
x(t) = 2t,\quad y(t) = 3t - 4,\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

Uma parametrização conveniente é
\mathbf r(t) = (2t,\;3t - 4),\quad t\in\mathbb{R}.

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