Seja k uma constante e \vec{F}(x, y, z)=\frac{k}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}(x, y, z). Tal campo é dito satisfazer uma “lei de inverso do quadrado (inverse square law)”. Exemplos de tais campos são o campo gravitacional e o campo elétrico gerados respectivamente por uma massa e uma carga pontuais.
(a) Calcule a divergência e o rotacional de \vec{F}.
(b) Determine um potencial para \vec{F}.
(c) Se S é uma superficie fechada que é fronteira de uma região conexa que contêm a origem, mostre que o fluxo de \vec{F} por S (orientada pela normal exterior) é \oiint_{S} \vec{F} \cdot \mathrm{~d} \vec{S}=4 \pi k.
observação: O resultado do item c acima é conhecido no eletromagnetismo como Lei de Gauss.

Passo 1

O enunciado define o campo
\vec F(x,y,z) = \frac{k}{\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{3/2}}\,(x,y,z),
que é um campo radial de lei do inverso do quadrado. Precisamos calcular
  1. a divergência \nabla\cdot\vec F e o rotacional \nabla\times\vec F;
  2. um potencial escalar para \vec F;
  3. o fluxo de \vec F por uma superfície fechada S que envolve a origem.

Passo 2

Para a divergência usemos a forma geral para campos do tipo \vec F = f(r)\,\vec r, onde r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} e \vec r=(x,y,z). Sabe-se que
\nabla\cdot\bigl[f(r)\,\vec r\bigr] =3\,f(r)+r\,f'(r).
Aqui f(r)=k/r^3, então
f'(r) = -3\,\frac{k}{r^4}, \quad 3\,f(r) + r\,f'(r) =3\frac{k}{r^3} -3\frac{k}{r^3} =0,
valendo para r\neq0. Logo
\nabla\cdot\vec F = 0,\quad r\neq0.

Passo 3

Para o rotacional note que qualquer campo radial g(r)\,\vec r é conservativo (é gradiente de algo), então
\nabla\times\vec F = \vec 0, \quad r\neq0.

Passo 4

Como \nabla\times\vec F=0 num domínio simplesmente conexo (ainda que excluamos a origem, \R^3\setminus\{0\} é simplesmente conexo), existe potencial \Phi tal que \vec F=\nabla\Phi. Para achar \Phi fazemos
\frac{\pd\Phi}{\pd r} =F_r =\frac{k}{r^2},
e integrando em r obtemos
\Phi(r) = -\frac{k}{r} + C.
Podemos tomar C=0, então
\Phi(x,y,z) = -\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.

Passo 5

Para calcular o fluxo por S envolvendo a origem, aplicamos o Teorema da Divergência em V, a região entre S e uma pequena esfera de raio \varepsilon ao redor da origem. Como \nabla\cdot\vec F=0 em V, o fluxo por S é igual ao fluxo por S_\varepsilon. Numa esfera de raio r=\varepsilon tem-se
\vec F\cdot\vec n =\frac{k}{r^2}, \quad \mathrm dS = r^2\sin\theta\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi,
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\iint_{S_\varepsilon}\vec F\cdot\mathrm d\vec S =\frac{k}{\varepsilon^2}\,\bigl(4\pi\varepsilon^2\bigr) =4\pi k.
Portanto o fluxo por S é 4\pi k.

Resposta

(a) \nabla\cdot\vec F=0,\\ \nabla\times\vec F=\vec0 para r\neq0.
(b) \displaystyle \Phi(x,y,z)=-\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.
(c) \displaystyle \oiint_{S}\vec F\cdot\mathrm d\vec S=4\pi k.

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