Seja
uma constante e
. Tal campo é dito satisfazer uma “lei de inverso do quadrado (inverse square law)”. Exemplos de tais campos são o campo gravitacional e o campo elétrico gerados respectivamente por uma massa e uma carga pontuais.
(a) Calcule a divergência e o rotacional de
.
(b) Determine um potencial para
.
(c) Se
é uma superficie fechada que é fronteira de uma região conexa que contêm a origem, mostre que o fluxo de
por
(orientada pela normal exterior) é
.
observação: O resultado do item c acima é conhecido no eletromagnetismo como Lei de Gauss.
(a) Calcule a divergência e o rotacional de
(b) Determine um potencial para
(c) Se
observação: O resultado do item c acima é conhecido no eletromagnetismo como Lei de Gauss.
Passo 1
O enunciado define o campo
que é um campo radial de lei do inverso do quadrado. Precisamos calcular
- a divergência
e o rotacional ; - um potencial escalar para
; - o fluxo de
por uma superfície fechada que envolve a origem.
Passo 2
Para a divergência usemos a forma geral para campos do tipo
, onde
e
. Sabe-se que
Aqui
, então
valendo para
. Logo
Passo 3
Para o rotacional note que qualquer campo radial
é conservativo (é gradiente de algo), então
Passo 4
Como
num domínio simplesmente conexo (ainda que excluamos a origem,
é simplesmente conexo), existe potencial
tal que
. Para achar
fazemos
e integrando em
obtemos
Podemos tomar
, então
Passo 5
Para calcular o fluxo por
envolvendo a origem, aplicamos o Teorema da Divergência em
, a região entre
e uma pequena esfera de raio
ao redor da origem. Como
em
, o fluxo por
é igual ao fluxo por
. Numa esfera de raio
tem-se
logo
Portanto o fluxo por
é
.
Resposta
(a)
para
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)