Considere a função
(a) Determine lim x 0 f(x).
(b) f é contínua em 0 ?
(c) fé contínua à direita em 0 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou pede para a gente analisar uma função definida por partes e entender o comportamento dela perto de x = 0 . O que vamos precisar aqui envolve conceitos de limites e continuidade de funções. Basicamente, vamos descobrir qual é o limite da função quando x se aproxima de 0, verificar se a função é contínua em 0 e também se ela é contínua apenas pelo lado direito desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função [f(x)). Ela está definida de três formas diferentes dependendo do valor de :
Queremos encontrar o limite de se aproxima de 0.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando x se aproxima de 0 vindo de valores negativos ( x to 0^- ).
limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (tan(x))^2x^2
Sabemos que, para x perto de 0, tan(x) é aproximadamente igual a x (essa é uma aproximação trigonométrica básica). Então:
(tan(x))^2x^2 approx x^2x^2 = 1
Portanto,
limx to 0^- f(x) = 1
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita, quando x se aproxima de 0 vindo de valores positivos ( x to 0^+ ):
limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ raizx^2+9-3x^2
Para resolver esse limite, podemos racionalizar o numerador. Multiplicamos e dividimos por raizx^2+9+3 :
Agora que temos os limites pela esquerda e pela direita, vamos ver o limite geral:
limx to 0 f(x) = 1 & se a partir da esquerda, 16 & se a partir da direita
Como os limites laterais são diferentes ( 1 neq 16 ), o limite geral não existe.
Passo 6
Agora, vamos verificar a continuidade em x = 0 . Para uma função ser contínua em um ponto, o limite quando x se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto.
Aqui, f(0) = 16 , mas o limite geral não existe. Portanto, a função não é contínua em x = 0 .
Passo 7
Por último, vamos ver se a função é contínua à direita em x = 0 . Isso significa que só precisamos considerar o limite quando x se aproxima de 0 vindo de valores positivos.
Já vimos que:
limx to 0^+ f(x) = 16 = f(0)
Como o limite pela direita é igual ao valor da função em 0, a função é contínua à direita em x = 0 .
Resposta
(a) O limite de f(x) quando x se aproxima de 0 não existe.
(b) A função f não é contínua em 0.
(c) A função f é contínua à direita em 0.