Considere a função f:: ll-90^circ & (pi2, pi2) 0^circ & interval R dada por f(x)==[ll(tg(x))^2x^2 & se x<0, 16 & se x=0, raizx^2+9-3x^2 & se x>0
(a) Determine lim x 0 f(x).
(b) f é contínua em 0 ?
(c) fé contínua à direita em 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou pede para a gente analisar uma função definida por partes e entender o comportamento dela perto de x = 0 . O que vamos precisar aqui envolve conceitos de limites e continuidade de funções. Basicamente, vamos descobrir qual é o limite da função quando x se aproxima de 0, verificar se a função é contínua em 0 e também se ela é contínua apenas pelo lado direito desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função [f(x)). Ela está definida de três formas diferentes dependendo do valor de :
Queremos encontrar o limite de se aproxima de 0.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando x se aproxima de 0 vindo de valores negativos ( x to 0^- ).
limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (tan(x))^2x^2
Sabemos que, para x perto de 0, tan(x) é aproximadamente igual a x (essa é uma aproximação trigonométrica básica). Então:
(tan(x))^2x^2 approx x^2x^2 = 1
Portanto,
limx to 0^- f(x) = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita, quando x se aproxima de 0 vindo de valores positivos ( x to 0^+ ):
limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ raizx^2+9-3x^2
Para resolver esse limite, podemos racionalizar o numerador. Multiplicamos e dividimos por raizx^2+9+3 :
raizx^2+9-3x^2 cdot raizx^2+9+3raizx^2+9+3 = (x^2+9) - 9x^2(raizx^2+9+3) = x^2x^2(raizx^2+9+3) = 1raizx^2+9+3
Agora, conforme x to 0^+ :
raizx^2+9 = raiz0 + 9 = 3
Então,
13 + 3 = 16
Portanto,
limx to 0^+ f(x) = 16

Passo 5

Agora que temos os limites pela esquerda e pela direita, vamos ver o limite geral:
limx to 0 f(x) = 1 & se a partir da esquerda, 16 & se a partir da direita
Como os limites laterais são diferentes ( 1 neq 16 ), o limite geral não existe.

Passo 6

Agora, vamos verificar a continuidade em x = 0 . Para uma função ser contínua em um ponto, o limite quando x se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto.
Aqui, f(0) = 16 , mas o limite geral não existe. Portanto, a função não é contínua em x = 0 .

Passo 7

Por último, vamos ver se a função é contínua à direita em x = 0 . Isso significa que só precisamos considerar o limite quando x se aproxima de 0 vindo de valores positivos.
Já vimos que:
limx to 0^+ f(x) = 16 = f(0)
Como o limite pela direita é igual ao valor da função em 0, a função é contínua à direita em x = 0 .

Resposta

(a) O limite de f(x) quando x se aproxima de 0 não existe.
(b) A função f não é contínua em 0.
(c) A função f é contínua à direita em 0.

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