Determinar a área da região limitada pelas curvas paramétricas dadas.
Passo 1
O enunciado dá uma curva parametrizada por
sem indicar explicitamente o intervalo de
. A pergunta é: determinar a área da região limitada por essa curva (ou seja, a área da figura fechada que ela descreve). Informações relevantes que temos do enunciado:
- As expressões paramétricas
e . - Provável necessidade de escolher um intervalo de
que descreva a curva completa (para funções trigonométricas usuais, isso costuma ser ).]
Passo 2
Primeiro vamos entender que figura essa parametrização descreve. Elimino o parâmetro
para ver a equação cartesiana:
Logo a curva é a elipse
Aqui dá para identificar os semi-eixos: semi-eixo maior em
é
e semi-eixo em
é
. Isso já nos dá uma ideia intuitiva da área (mas vou mostrar o cálculo paramétrico passo a passo, como se pede em provas).
Passo 3
Apresento a fórmula para a área
de uma região limitada por uma curva fechada paramétrica
percorrida uma vez no sentido positivo (anti-horário):
Explicando a fórmula de forma didática:
- A expressão
vem da forma diferencial que, integrada ao longo da curva fechada e dividida por , dá a área interior (resultado padrão do teorema de Green em forma paramétrica). - Aqui
e . - Precisamos escolher
e que percorrem a curva exatamente uma vez. Para funções trigonométricas como e a escolha natural é e , que percorre a elipse uma vez.
Passo 4
Calculo as derivadas necessárias:
Substituo na expressão do integrando:
Passo 5
Simplifico o integrando passo a passo:
Portanto o integrando é a constante
. Agora aplico a fórmula da área com
de
a
:
Passo 6
Comentário final para fixar a ideia (útil para a prova): alternativamente, como vimos no Passo 2 a curva é a elipse
com semi-eixos
e
. A fórmula conhecida da área da elipse é
. Aplicando dá
, que coincide com o resultado obtido pelo cálculo paramétrico — bom para checar erros.