Determinar a área da região limitada pelas curvas paramétricas dadas.
\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos t \\\ y=\operatorname{sen} t\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma curva parametrizada por
\begin{cases} x=3\cos t,\\[4pt] y=\sin t, \end{cases}
sem indicar explicitamente o intervalo de t. A pergunta é: determinar a área da região limitada por essa curva (ou seja, a área da figura fechada que ela descreve). Informações relevantes que temos do enunciado:
  • As expressões paramétricas x(t) e y(t).
  • Provável necessidade de escolher um intervalo de t que descreva a curva completa (para funções trigonométricas usuais, isso costuma ser t\in[0,2\pi]).]

Passo 2

Primeiro vamos entender que figura essa parametrização descreve. Elimino o parâmetro t para ver a equação cartesiana:
\frac{x^2}{9}+y^2=\frac{(3\cos t)^2}{9}+(\sin t)^2=\cos^2 t+\sin^2 t=1.
Logo a curva é a elipse
\frac{x^2}{9}+y^2=1.
Aqui dá para identificar os semi-eixos: semi-eixo maior em x é a=3 e semi-eixo em y é b=1. Isso já nos dá uma ideia intuitiva da área (mas vou mostrar o cálculo paramétrico passo a passo, como se pede em provas).

Passo 3

Apresento a fórmula para a área A de uma região limitada por uma curva fechada paramétrica \big(x(t),y(t)\big) percorrida uma vez no sentido positivo (anti-horário):
A=\frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2}\big(x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t)\big)\,dt.
Explicando a fórmula de forma didática:
  • A expressão x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t) vem da forma diferencial x\,dy-y\,dx que, integrada ao longo da curva fechada e dividida por 2, dá a área interior (resultado padrão do teorema de Green em forma paramétrica).
  • Aqui x'(t)=\dfrac{dx}{dt} e y'(t)=\dfrac{dy}{dt}.
  • Precisamos escolher t_1 e t_2 que percorrem a curva exatamente uma vez. Para funções trigonométricas como \cos t e \sin t a escolha natural é t_1=0 e t_2=2\pi, que percorre a elipse uma vez.

Passo 4

Calculo as derivadas necessárias:
x(t)=3\cos t\quad\Rightarrow\quad x'(t)=-3\sin t,
y(t)=\sin t\quad\Rightarrow\quad y'(t)=\cos t.
Substituo na expressão do integrando:
x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t)=\big(3\cos t\big)\big(\cos t\big)-\big(\sin t\big)\big(-3\sin t\big).

Passo 5

Simplifico o integrando passo a passo:
\big(3\cos t\big)\big(\cos t\big)-\big(\sin t\big)\big(-3\sin t\big)=3\cos^2 t+3\sin^2 t=3\big(\cos^2 t+\sin^2 t\big)=3.
Portanto o integrando é a constante 3. Agora aplico a fórmula da área com t de 0 a 2\pi:
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} 3\,dt=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot\big(2\pi-0\big)=3\pi.

Passo 6

Comentário final para fixar a ideia (útil para a prova): alternativamente, como vimos no Passo 2 a curva é a elipse \dfrac{x^2}{9}+y^2=1 com semi-eixos a=3 e b=1. A fórmula conhecida da área da elipse é A=\pi a b. Aplicando dá A=\pi\cdot 3\cdot 1=3\pi, que coincide com o resultado obtido pelo cálculo paramétrico — bom para checar erros.

Resposta

\;3\pi

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